Problema — Fantafisica: costante di Boltzmann raddoppiata

Testo

Se la costante di Boltzmann raddoppiasse istantaneamente, come cambierebbero: pressione di un gas a $T, V, N$ fissati, $v_\text{rms}$ e il calore latente di evaporazione?

Soluzione

Analizzo una grandezza alla volta usando le relazioni della teoria cinetica, tenendo fissi $T$, $V$, $N$ e sostituendo $k_B \to 2k_B$. $pV = N k_B T \ \Rightarrow \ p = \frac{N k_B T}{V}$ La pressione è proporzionale a $k_B$, quindi raddoppia: $p \to 2p$ La velocità quadratica media dipende da $\sqrt{k_B}$ (poiché $\frac{1}{2}m v_\text{rms}^2 = \frac{3}{2}k_B T$): $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \ \Rightarrow \ v_\text{rms} \to \sqrt{2}\,v_\text{rms}$ Il calore latente $L$ è un’energia legata ai legami molecolari: non contiene $k_B$, quindi il suo valore per particella non cambia direttamente. Ciò che conta per l’ebollizione è però il rapporto adimensionale $L/(k_B T)$ che governa la Clausius–Clapeyron: $\frac{L}{k_B T} \to \frac{L}{2 k_B T} \quad (\text{dimezzato})$ $\ev{p \to 2p; \quad v_\text{rms} \to \sqrt{2}\,v_\text{rms}; \quad L \text{ invariato, ma } L/(k_B T) \text{ dimezza} \Rightarrow \text{ebollizione a } T \text{ più bassa}}$ Dimezzare $L/(k_B T)$ rende più facile vincere i legami: il liquido evaporerebbe a temperature minori.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Pressione · Calore latente e cambiamenti di stato Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica