Problema — Stima Fermi: sauna

Testo

In una sauna a $T = 90\,^\circ$C, di quanto cresce la velocità media delle molecole d’aria rispetto all’esterno a $T = 20\,^\circ$C? Discuti perché un aumento relativamente modesto sia già sufficiente a farti sudare.

Soluzione

La velocità media (come tutte le velocità caratteristiche di Maxwell-Boltzmann) scala come la radice della temperatura assoluta: $\bar v\propto\sqrt{T}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\bar v_\text{sauna}}{\bar v_\text{esterno}}=\sqrt{\frac{T_\text{sauna}}{T_\text{esterno}}}$ Converto in kelvin: $T_\text{sauna}=90+273=363\ \text{K}\qquad T_\text{esterno}=20+273=293\ \text{K}$ Calcolo il rapporto: $\frac{\bar v_\text{sauna}}{\bar v_\text{esterno}}=\sqrt{\frac{363}{293}}=\sqrt{1{,}239}=1{,}113$ La velocità media cresce solo dell’11% circa.

Perché basta a farti sudare. In gradi Celsius il salto sembra enorme (da 20 a 90 °C), ma sulla scala assoluta è modesto, e la velocità dipende dalla radice: +11% appena. Tuttavia ciò che conta per il corpo non è la velocità delle molecole, bensì il flusso di energia. Il tuo raffreddamento normale avviene per evaporazione del sudore: nella sauna l’aria è già caldissima (spesso più della pelle), quindi non puoi più cedere calore all’aria — anzi lo ricevi. L’unica via rimasta è sudare abbondantemente, così l’evaporazione porta via il calore latente. Il piccolo aumento di velocità molecolare corrisponde a un ambiente termico che ribalta il verso dello scambio, ed è questo, non l’11% in sé, a innescare la sudorazione. $\ev{\bar v \text{ cresce del } +11\%\ \text{circa}\ \ (\sqrt{363/293}\approx 1{,}113)}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Temperatura Competenze: Stime di Fermi