Problema — Pressione su un cono di carta

Testo

Un cono di carta posato su un tavolo ha base $A = 100$ cm$^2$. Una pressione di $10^5$ Pa darebbe $F = pA = 10^3$ N su un lato della base: come mai il cono non viene schiacciato? Mostra il bilancio vettoriale delle forze.

Soluzione

L’errore è trattare la pressione come se agisse in un’unica direzione. La pressione è isotropa: preme perpendicolarmente su ogni elemento di superficie, in tutti i versi.

La forza è un vettore. Il valore $F=pA=10^5\cdot10^{-2}=10^3$ N è solo il modulo della forza su un’area piatta di 100 cm². Ma su una superficie chiusa, come il cono, i vettori forza puntano in direzioni diverse e vanno sommati vettorialmente, non aritmeticamente.

Bilancio sul cono. Ogni faccia inclinata riceve dall’aria esterna una spinta $\vec F_\text{est}$ diretta verso l’interno, perpendicolare alla superficie. Ma l’aria che sta dentro il cono (e sotto, attraverso la carta e il contatto col tavolo) esercita una spinta uguale e opposta $\vec F_\text{int}$. Le componenti orizzontali delle spinte sulle due facce sono simmetriche e si cancellano; le componenti verticali dall’alto sono bilanciate da quelle dal basso. $\sum \vec F = \oint_{\text{superficie chiusa}} (-p\,\hat n)\,\dd A = \vec 0$ Per un fluido a pressione uniforme, l’integrale della pressione su qualunque superficie chiusa è nullo: le forze si compensano coppia a coppia. $\vec F_\text{est}+\vec F_\text{int}=\vec 0\quad\text{su ogni elemento}\ \Longrightarrow\ \vec F_\text{tot}=\vec 0$ Il cono non viene schiacciato perché l’aria lo preme in modo bilanciato da ogni lato: la risultante è nulla. (Solo se facessimo il vuoto dentro il cono la spinta esterna non sarebbe più compensata, e allora sì che verrebbe schiacciato.) $\ev{\text{pressione isotropa}\Rightarrow \vec F_\text{tot}=\vec 0\ \text{su superficie chiusa: il cono resta intatto}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Pressione Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica · Interpretazione micro-macro