Problema — Diffusione di un odore

Testo

In una stanza ferma, un profumo si libera in un angolo. Stima il tempo che impiega a raggiungere l’angolo opposto a $L = 5$ m di distanza, basandosi soltanto sulla diffusione molecolare ($D_\text{aria}\approx 0{,}2$ cm$^2$/s, cammino diffusivo $\langle x^2\rangle\approx 6Dt$). Spiega perché nella realtà sentiamo i profumi molto prima.

Soluzione

Nella diffusione lo spostamento quadratico medio in tre dimensioni cresce linearmente col tempo: $\langle x^2\rangle\approx 6Dt$ Impongo che la distanza tipica raggiunga $L$, cioè $\langle x^2\rangle\approx L^2$, e ricavo il tempo: $t=\frac{L^2}{6D}$ Converto i dati in unità SI: $L=5$ m, $D=0{,}2\ \text{cm}^2/\text{s}=0{,}2\cdot10^{-4}\ \text{m}^2/\text{s}=2\cdot10^{-5}\ \text{m}^2/\text{s}$. $t=\frac{(5)^2}{6\cdot 2\cdot10^{-5}}=\frac{25}{1{,}2\cdot10^{-4}}$ $t\approx 2{,}1\cdot10^5\ \text{s}$ In ore: $t=\frac{2{,}1\cdot10^5}{3600}\approx 58\ \text{ore}\ \sim\ \text{ordine di giorni}$ La sola diffusione molecolare impiegherebbe quindi ore (ordine di grandezza $\sim$ ore-giorni), perché ogni molecola avanza a zig-zag, urtando in continuazione le molecole d’aria: pur muovendosi a centinaia di m/s, il cammino netto è lentissimo.

Perché in realtà lo sentiamo prima. Nessuna stanza è davvero ferma: differenze di temperatura, movimento delle persone, correnti d’aria e moti convettivi creano flussi macroscopici che trasportano il profumo per convezione (trascinamento in massa dell’aria), meccanismo ordini di grandezza più veloce della diffusione molecolare. Per questo l’odore arriva in secondi o minuti, non in ore. $\ev{t\approx 2{,}1\cdot 10^5\ \text{s} \approx 58\ \text{ore (sola diffusione); in pratica le correnti d'aria lo portano molto prima}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media Competenze: Stime di Fermi · Interpretazione micro-macro