Problema — Distribuzione barometrica isoterma

Testo

In atmosfera isoterma a $T = 290$ K, la pressione decresce con la quota come $p(z) = p_0\, e^{-z/H}$ con $H = k_B T/(m g)$. Calcola $H$ per aria ($M\approx 29$ g/mol) e la quota $z_{1/2}$ in cui $p$ si dimezza.

Soluzione

Altezza di scala $H$. Conviene usare la forma con massa molare: moltiplicando numeratore e denominatore per $N_A$, poiché $k_B N_A=R$ e $m N_A=M$, $H=\frac{k_B T}{m g}=\frac{R\,T}{M\,g}$ Sostituisco $R=8{,}31$ J/(mol·K), $T=290$ K, $M=29\ \text{g/mol}=29\cdot10^{-3}$ kg/mol, $g=9{,}8$ m/s²: $H=\frac{8{,}31\cdot 290}{29\cdot10^{-3}\cdot 9{,}8}$ $H=\frac{2{,}41\cdot10^3}{0{,}284}=8{,}5\cdot10^3\ \text{m}\approx 8{,}5\ \text{km}$ Quota di dimezzamento $z_{1/2}$. Impongo $p(z_{1/2})=\tfrac12 p_0$: $\frac12=e^{-z_{1/2}/H}$ Passo al logaritmo: $-\frac{z_{1/2}}{H}=\ln\frac12=-\ln 2\quad\Longrightarrow\quad z_{1/2}=H\ln 2$ $z_{1/2}=8{,}5\cdot 0{,}693=5{,}9\ \text{km}$ A circa 5,9 km di quota la pressione è metà di quella al suolo, in accordo col fatto che in alta montagna (sopra i 5000 m) si respira circa la metà dell’aria. $\ev{H\approx 8{,}5\ \text{km};\quad z_{1/2}=H\ln 2\approx 5{,}9\ \text{km}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia potenziale gravitazionale · Pressione · Distribuzione di Maxwell-Boltzmann