Problema — Idrogeno o ossigeno più veloce

Testo

Due recipienti identici contengono uno idrogeno ($H_2$) e l’altro ossigeno ($O_2$), alla stessa temperatura e pressione. In quale dei due le molecole si muovono in media più velocemente? Di quanto (rapporto delle $v_\text{rms}$)? L’energia cinetica media per molecola è uguale o diversa?

Soluzione

La velocità quadratica media dipende dalla massa: $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$. A parità di temperatura, la molecola più leggera è la più veloce. L’idrogeno ($m_{H_2}=2$ u) è molto più leggero dell’ossigeno ($m_{O_2}=32$ u), quindi l’$H_2$ è più veloce.

Il rapporto delle velocità (stessa $T$, il fattore $3k_B T$ si semplifica): $\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{m_{O_2}}{m_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ L’idrogeno si muove in media 4 volte più velocemente.

L’energia cinetica traslazionale media per molecola dipende solo dalla temperatura: $\langle E_\text{cin}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ Essendo alla stessa $T$, è uguale per entrambi i gas: la maggiore velocità dell’$H_2$ compensa esattamente la sua massa minore. $\ev{H_2\ \text{più veloce};\ \ v_{H_2}/v_{O_2}=4;\ \ \langle E_\text{cin}\rangle\ \text{uguale}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica