Problema — Stima degli urti al secondo sulla mano

Testo

Stima l’ordine di grandezza del numero di urti al secondo che le molecole d’aria esercitano complessivamente sul palmo della tua mano a temperatura e pressione ambiente. Considera $P_\text{atm}\approx 10^5$ Pa, area del palmo $A\approx 10^{-2}$ m$^2$, massa molare media $29\cdot 10^{-3}$ kg/mol, $T = 300$ K. Suggerimento: la pressione è il flusso di quantità di moto.

Soluzione

Ogni urto trasferisce alla mano una quantità di moto dell’ordine di $\Delta p \sim m v$, dove $m$ è la massa di una molecola e $v$ la sua velocità tipica. La forza sulla mano è $F = PA$, cioè quantità di moto ceduta al secondo. Il numero di urti al secondo è dunque $N_\text{urti} \sim F/\Delta p = PA/(m v)$.

Massa di una molecola d’aria: $m = \frac{m_\text{mol}}{N_A} = \frac{29\cdot 10^{-3}}{6{,}02\cdot 10^{23}} \approx 4{,}8\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$ Velocità tipica (quadratica media): $v \approx \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}} = \sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{29\cdot 10^{-3}}} \approx 5\cdot 10^{2}\ \text{m/s}$ Forza esercitata dall’aria sul palmo: $F = PA = 10^{5}\cdot 10^{-2} = 10^{3}\ \text{N}$ Numero di urti al secondo: $N_\text{urti} \sim \frac{F}{m v} = \frac{10^{3}}{4{,}8\cdot 10^{-26}\cdot 5\cdot 10^{2}} \approx 4\cdot 10^{25}$ Come ordine di grandezza: $\ev{N_\text{urti} \sim 10^{25}\ \text{urti/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Pressione Competenze: Stime di Fermi · Analisi dimensionale