Problema — Dimostrazione di PV = nRT

Testo

Partendo dall’espressione dell’energia cinetica media traslazionale di una molecola $\langle E_\text{cin,trasl}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ e dalla relazione microscopica $P = \tfrac{2}{3}\,E_\text{cin}/V$, dimostra l’equazione di stato dei gas perfetti $PV = nRT$. Indica chiaramente il passaggio da $N$ a $n$ (numero di moli).

Soluzione

Nella relazione microscopica $E_\text{cin}$ è l’energia cinetica traslazionale totale del gas: somma dei contributi di tutte le $N$ molecole. Se ogni molecola ha in media $\langle E_\text{cin,trasl}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$, allora: $E_\text{cin} = N\,\langle E_\text{cin,trasl}\rangle = N\cdot \tfrac{3}{2}k_B T$ Sostituisco nella relazione microscopica della pressione: $P = \frac{2}{3}\frac{E_\text{cin}}{V} = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{V}\cdot N\cdot \tfrac{3}{2}k_B T$ Il fattore $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2}=1$ si semplifica: $PV = N k_B T$ Passo ora da $N$ (numero di molecole) a $n$ (numero di moli) usando $N = n N_A$: $PV = n N_A k_B T$ Definendo la costante universale dei gas $R = N_A k_B$ (prodotto del numero di Avogadro per la costante di Boltzmann): $PV = nRT$ $\ev{PV = nRT\quad \text{con}\ R = N_A k_B}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Legge dei gas perfetti · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica