Esercizio svolto — perché il calore va dal caldo al freddo

Testo

Un termostato 1 a $T_1 = 400\;\text{K}$ e uno 2 a $T_2 = 300\;\text{K}$ sono messi in contatto. Fluiscono $Q$ joule dal primo al secondo. Mostrare che questo è compatibile col secondo principio solo se $Q \geq 0$ (cioè dal caldo al freddo).

Soluzione

Impostazione. Chiamiamo $Q$ il calore che passa dal termostato 1 al termostato 2. Il termostato 1 cede $Q$, quindi riceve $-Q$; il termostato 2 riceve $+Q$. Usiamo per ciascuno la formula del termostato $\Delta S = Q_\text{ricevuto}/T$.

Entropia dei due termostati: $\Delta S_1 = -\frac{Q}{400}, \qquad \Delta S_2 = +\frac{Q}{300}$

Entropia totale: $\Delta S_\text{tot} = -\frac{Q}{400} + \frac{Q}{300} = Q\left(\frac{1}{300}-\frac{1}{400}\right) = \frac{Q}{1200}$

Conclusione. Il secondo principio impone $\Delta S_\text{tot} \geq 0$, cioè $Q/1200 \geq 0$, e quindi: $\ev{Q \geq 0}$

Il calore può fluire solo dal termostato caldo a quello freddo. Questa è una vera e propria dimostrazione dell’enunciato di Clausius (“il calore non passa spontaneamente dal freddo al caldo”) a partire dalla sola formulazione entropica del secondo principio. Il fattore $\left(\frac{1}{300}-\frac{1}{400}\right)$ è positivo proprio perché $T_2 < T_1$: è la differenza tra le temperature a fissare il verso permesso.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Secondo principio della termodinamica · Entropia Competenze: Bilancio entropico