Lettura grafico ln W vs E

Testo

Il grafico mostra $\ln W(E)$ in funzione dell’energia $E$ per due sistemi isolati, $1$ e $2$, che possono scambiarsi energia attraverso una parete diatermica ($W$ è il numero di microstati). Discuti come si stabilisce l’equilibrio termico e in quale condizione l’entropia totale è massima.

Soluzione

Impostazione: i microstati totali si moltiplicano, quindi le entropie si sommano: $S_\text{tot}=k_B\ln(W_1 W_2)=k_B\big(\ln W_1+\ln W_2\big)$ L’energia totale è fissata, $E_1+E_2=\text{cost}$, cioè $dE_2=-dE_1$: scambiando un po’ di energia da $2$ a $1$, $S_\text{tot}$ varia finché non raggiunge il massimo.

Condizione di massimo ($dS_\text{tot}/dE_1=0$): $\frac{\partial \ln W_1}{\partial E_1}=\frac{\partial \ln W_2}{\partial E_2}$ cioè le pendenze delle due curve del grafico devono coincidere. Poiché per definizione $\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{1}{T}$ l’uguaglianza delle pendenze equivale a $1/T_1=1/T_2$, ovvero $\ev{T_1=T_2}$ L’equilibrio termico è quindi il punto di massima entropia totale: l’energia si ridistribuisce spontaneamente finché le due temperature si uguagliano.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia · Temperatura Competenze: Interpretazione micro-macro · Lettura dei grafici