Sfida: il paradosso di Gibbs

Testo

Due gas distinti, ciascuno costituito da $n$ moli e occupante un volume $V$ alla stessa pressione e temperatura, sono separati da un setto in un contenitore isolato. Si rimuove il setto e i gas si mescolano. Calcola la variazione di entropia $\Delta S$. Cosa cambia se i due gas sono identici?

Soluzione

Caso GAS DISTINTI: rimosso il setto, ciascun gas si espande liberamente dal proprio volume $V$ al volume totale $2V$. L’espansione libera isoterma di $n$ moli fa aumentare l’entropia di $nR\ln(2V/V)=nR\ln 2$. I due gas sono indipendenti, quindi i contributi si sommano: $\Delta S=nR\ln 2+nR\ln 2=2nR\ln 2>0$ È l’entropia di mescolamento, positiva: il processo è irreversibile.

Caso GAS IDENTICI: rimuovere il setto non produce alcuno stato fisicamente distinguibile dal precedente (stesso gas, stessa densità, stessa $T$ e $p$ ovunque). Non c’è vera espansione né mescolamento osservabile, quindi $\Delta S=0$

$\ev{\text{distinti: }\Delta S=2nR\ln 2;\quad \text{identici: }\Delta S=0}$ Questo è il paradosso di Gibbs: la formula “ingenua” darebbe $2nR\ln 2$ anche per gas identici, generando una discontinuità impossibile. Si risolve con l’indistinguibilità quantistica delle particelle identiche (fattore $1/N!$ di Gibbs), che azzera correttamente l’entropia di mescolamento per gas uguali.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia Competenze: Interpretazione micro-macro · Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Gas ideale