Problema — Dimostrazione del rendimento di Carnot

Testo

Considera un ciclo di Carnot tra $T_H$ e $T_C$ compiuto da $n$ moli di gas ideale. Partendo dalla formula $Q = nRT\ln(V_B/V_A)$ per le isoterme e da $TV^{\gamma-1} = \text{cost}$ per le adiabatiche, dimostra che il rendimento è $\eta = 1 - T_C/T_H$, cioè non dipende dal tipo di gas.

Soluzione

Vertici del ciclo. A→B isoterma calda a $T_H$; B→C adiabatica; C→D isoterma fredda a $T_C$; D→A adiabatica.

Calori scambiati sulle isoterme. Per un’isoterma reversibile $\Delta E_\text{int} = 0$, quindi $Q = L_\text{gas} = nRT\ln(V_\text{fin}/V_\text{in})$:

$Q_H = nRT_H\ln\frac{V_B}{V_A} \qquad |Q_C| = nRT_C\ln\frac{V_C}{V_D}$

Vincolo dalle adiabatiche. Applicando $TV^{\gamma-1} = \text{cost}$ ai due tratti adiabatici:

$T_H V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1} \qquad T_C V_D^{\gamma-1} = T_H V_A^{\gamma-1}$

Dividendo membro a membro la prima per la seconda si elidono $T_H$ e $T_C$:

$\frac{V_B^{\gamma-1}}{V_A^{\gamma-1}} = \frac{V_C^{\gamma-1}}{V_D^{\gamma-1}} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}$

Rapporto dei calori. I logaritmi dei rapporti di volume sono dunque uguali, e si semplificano:

$\frac{|Q_C|}{Q_H} = \frac{nRT_C\ln(V_C/V_D)}{nRT_H\ln(V_B/V_A)} = \frac{T_C}{T_H}$

Rendimento. Da $\eta = 1 - |Q_C|/Q_H$:

$\ev{\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}}$

Conclusione. Nella derivazione sono scomparsi $n$, $R$, $\gamma$ e i volumi: il rendimento dipende solo dalle due temperature, non dal fluido di lavoro. È il nucleo del secondo principio individuato da Carnot: nessuna macchina reale operante fra le stesse temperature può superare questo valore.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Rendimento · Trasformazioni termodinamiche Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Gas ideale