Problema — Ciclo di Carnot nel piano ln P – ln V

Testo

Nel piano $\ln P$–$\ln V$ le adiabatiche e le isoterme diventano rette. Disegna su un unico grafico $\ln P$–$\ln V$ un ciclo di Carnot. Quali pendenze hanno i quattro tratti? Come si riconosce che nel piano $\ln P$–$\ln V$ l’area non rappresenta più il lavoro?

Soluzione

Perché diventano rette. Prendendo il logaritmo delle equazioni dei processi:

• Isoterma: $PV = nRT = \text{cost} \Rightarrow \ln P + \ln V = \text{cost}$, retta di pendenza $-1$;
• Adiabatica: $PV^\gamma = \text{cost} \Rightarrow \ln P + \gamma\ln V = \text{cost}$, retta di pendenza $-\gamma$ (più ripida, perché $\gamma > 1$).

Il ciclo. Le due isoterme (pendenza $-1$) sono parallele fra loro, e così le due adiabatiche (pendenza $-\gamma$): il ciclo di Carnot diventa un parallelogramma con quattro lati rettilinei.

Ciclo di Carnot nel piano $\ln P$–$\ln V$: un parallelogramma. Isoterme pendenza $-1$, adiabatiche pendenza $-\gamma$ (più ripide).

Pendenze dei quattro tratti.

$\ev{\text{isoterme: pendenza } -1; \qquad \text{adiabatiche: pendenza } -\gamma \text{ (più ripide)}}$

Perché l’area non è più il lavoro. Nel piano $P$-$V$ l’area ha unità $[\,P\,]\cdot[\,V\,] = \text{Pa}\cdot\text{m}^3 = \text{J}$, cioè un’energia: è il lavoro. Nel piano $\ln P$–$\ln V$ gli assi sono numeri puri (logaritmi adimensionali), quindi l’area racchiusa è anch’essa adimensionale: non ha le unità di un’energia. Il cambio di coordinate logaritmico distorce le aree e ne cancella il significato fisico. Il diagramma $\ln P$–$\ln V$ serve a visualizzare le curve come rette con pendenze distintive, ma per calcolare il lavoro bisogna tornare al piano $P$-$V$ o alle formule.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Trasformazioni termodinamiche Competenze: Lettura dei grafici Metodi: Diagramma P-V e ln P - ln V Oggetti: Gas ideale