Problema — Macchina di Stirling

Testo

Una macchina di Stirling ideale lavora tra $T_c = 500\;\text{K}$ e $T_f = 300\;\text{K}$ con due isoterme e due isocore. Con $n = 0{,}1\;\text{mol}$ di gas ideale monoatomico, $V_1 = 0{,}5\;\text{L}$, $V_2 = 1{,}5\;\text{L}$, calcola $\eta$ ideale (con rigeneratore), il calore assorbito $Q_c$ e il lavoro per ciclo.

Soluzione

Rendimento ideale con rigeneratore. Le due isocore scambiano calore, ma in una Stirling ideale il rigeneratore immagazzina il calore ceduto nell’isocora di raffreddamento e lo restituisce in quella di riscaldamento: quei due scambi si annullano internamente. Restano solo le due isoterme, esattamente come in Carnot, quindi il rendimento raggiunge il limite di Carnot:

$\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c} = 1 - \frac{300}{500} = \ev{0{,}40 \ (40\%)}$

Calore assorbito $Q_c$. È scambiato nell’espansione isoterma calda a $T_c$. Per un’isoterma di gas ideale $Q = L = nRT\ln(V_2/V_1)$:

$Q_c = nRT_c \ln\!\frac{V_2}{V_1} = 0{,}1 \times 8{,}31 \times 500 \times \ln\!\frac{1{,}5}{0{,}5}$

Con $\ln 3 \approx 1{,}099$:

$Q_c = 415{,}5 \times 1{,}099 \approx \ev{457\;\text{J}}$

Lavoro per ciclo. Dal rendimento, $L = \eta\, Q_c$:

$L = 0{,}40 \times 457\;\text{J} \approx \ev{183\;\text{J}}$

La Stirling ideale con rigeneratore eguaglia dunque Carnot ($40\%$). È questa la ragione dell’interesse ricorrente per il motore Stirling: un ciclo a combustione esterna, silenzioso, in linea di principio efficiente quanto il ciclo teorico perfetto. Le difficoltà pratiche del rigeneratore reale ne limitano però la resa.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Rendimento · Trasformazioni termodinamiche · Legge dei gas perfetti Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico Metodi: Diagramma P-V e ln P - ln V Oggetti: Gas ideale · Macchina termica