Il diagramma ln P – ln V

Passando a coordinate logaritmiche, le curve reversibili si trasformano in rette. Il trucco è prendere il logaritmo delle equazioni di ciascun processo: le potenze diventano coefficienti angolari, e ogni trasformazione acquista una pendenza che la identifica a colpo d’occhio.

Partiamo dalle equazioni di ciascun processo:

• Isocora: $V = \text{cost} \Rightarrow \ln V = \text{cost}$, una retta verticale;
• Isobara: $P = \text{cost} \Rightarrow \ln P = \text{cost}$, una retta orizzontale;
• Isoterma: $PV = nRT = \text{cost} \Rightarrow \ln P + \ln V = \text{cost}$, una retta di pendenza $-1$;
• Adiabatica: $PV^\gamma = \text{cost} \Rightarrow \ln P + \gamma\ln V = \text{cost}$, una retta di pendenza $-\gamma$.

Poiché $\gamma > 1$, l’adiabatica è più ripida dell’isoterma anche in queste coordinate: la sua pendenza $-\gamma$ è più negativa di $-1$. Le quattro trasformazioni si distinguono così immediatamente dalla loro inclinazione.

Diagramma $\ln P$–$\ln V$: le curve diventano rette. L’adiabatica ha pendenza $-\gamma$ (più ripida), l’isoterma pendenza $-1$, l’isobara è orizzontale e l’isocora verticale.

Pendenza dell'adiabatica

Da $\Delta S_\text{gas} = 0$ e $T = PV/(nR)$ si ricava la relazione tra stato iniziale $A$ e finale $B$: $\ln\frac{P_B}{P_A} + \gamma\ln\frac{V_B}{V_A} = 0$ Ponendo $Y = \ln P$ e $X = \ln V$ questa diventa $Y_B - Y_A = -\gamma(X_B - X_A)$, cioè una retta di pendenza $-\gamma$.

Area e lavoro

Nel diagramma $P$-$V$ l’area sotto la curva rappresenta il lavoro del gas. Nel diagramma $\ln P$-$\ln V$ l’area non ha più questo significato: il cambio di coordinate distorce le aree. Il diagramma logaritmico serve per visualizzare meglio le curve (rette con pendenze distintive), ma per calcolare il lavoro bisogna tornare al diagramma $P$-$V$ o usare le formule.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Legge dei gas perfetti Competenze: Lettura dei grafici Metodi: Diagramma P-V e ln P - ln V

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