La legge di gravitazione universale

La legge di Newton stabilisce che due masse qualsiasi si attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle masse e inversa al quadrato della loro distanza. È una forza sempre attrattiva e davvero universale. Questa sezione ne enuncia la formula e mostra come, vicino alla superficie terrestre, essa si riduca al familiare $F = mg$.

• La legge di gravitazione universale di Newton
• Relazione con $g = 9{,}81$ m/s²

Newton’s law establishes that any two masses attract each other with a force proportional to the product of the masses and inversely proportional to the square of their distance. It is always an attractive force, and truly universal. This section states the formula and shows how, near the Earth’s surface, it reduces to the familiar $F = mg$.

• Newton’s law of universal gravitation
• Relation to $g = 9{,}81$ m/s²

Tra due corpi qualsiasi dotati di massa esiste un’attrazione reciproca. È l’intuizione che Newton rese quantitativa: la forza non dipende dalla natura dei corpi, ma solo dalle loro masse e dalla distanza che li separa. Più grandi sono le masse, più intensa è l’attrazione; più lontani sono i corpi, più debole diventa, e diminuisce con il quadrato della distanza.

Legge di gravitazione universale di Newton

Tra due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ a distanza $d$ (misurata tra i centri) esiste una forza attrattiva diretta lungo la congiungente dei centri, di modulo: $\ev{F = G\,\frac{m_1\,m_2}{d^2}}$ dove $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\;\text{N\,m}^2/\text{kg}^2$ è la costante di gravitazione universale.

Due caratteristiche distinguono questa forza. È sempre attrattiva, a differenza della legge di Coulomb, dove cariche dello stesso segno si respingono: le masse non si respingono mai. Ed è universale, cioè vale tra qualsiasi coppia di oggetti dotati di massa, dalla mela alla galassia. Le due forze che le masse si scambiano sono uguali e opposte, in accordo con la terza legge di Newton.

La forza gravitazionale tra due masse è sempre attrattiva, diretta lungo la congiungente dei centri. Le due forze $\vec{F}_{12}$ e $\vec{F}_{21}$ sono uguali e opposte (terza legge di Newton).

Il valore piccolissimo di $G$ spiega perché non avvertiamo l’attrazione tra oggetti di uso comune: due persone vicine si attraggono con una forza del tutto trascurabile. La gravità diventa dominante solo quando in gioco c’è almeno una massa astronomica, come quella di un pianeta o di una stella.

L'esperimento di Cavendish (1798)

Henry Cavendish misurò $G$ con una bilancia di torsione. Un’asta leggera di lunghezza $L$, con una pallina di piombo di massa $m$ a ogni estremità, è appesa al centro a un filo sottile. Vicino a ciascuna pallina si avvicina una sfera grande di massa $M$, a distanza $d$, dalla parte opposta per le due palline. Le due attrazioni $F = G\,Mm/d^2$ fanno ruotare l’asta, e il filo si torce finché il suo momento di richiamo $\kappa\,\theta$ non le equilibra: $2 \cdot G\frac{Mm}{d^2} \cdot \frac{L}{2} = \kappa\,\theta \quad\Longrightarrow\quad \ev{G = \frac{\kappa\,\theta\,d^2}{M\,m\,L}}$ La costante di torsione $\kappa$ del filo si ricava facendo oscillare l’asta libera e misurandone il periodo. Le forze in gioco sono minuscole, dell’ordine di $10^{-7}$ N: l’angolo $\theta$ è così piccolo che Cavendish lo leggeva con un cannocchiale, da fuori della stanza chiusa, per non disturbare l’apparato con correnti d’aria e col calore del proprio corpo.

Perché si dice che «pesò la Terra». Il peso di un corpo sulla superficie è $mg = G\,m M_T/R_T^2$. Prima di Cavendish si conoscevano $g$ e $R_T$ ma non $G$, quindi la massa della Terra restava ignota. Misurato $G$: $M_T = \frac{g\,R_T^2}{G} = \frac{9{,}81 \cdot (6{,}37\cdot 10^{6})^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}}\ \text{kg} \approx 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$ Dividendo per il volume $\tfrac{4}{3}\pi R_T^3$ si trova una densità media di circa $5{,}5\cdot 10^3$ kg/m³, il doppio di quella delle rocce in superficie: l’interno della Terra deve essere molto più denso. Cavendish trovò $5{,}45$ volte la densità dell’acqua, a meno del $2\%$ dal valore di oggi.

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Between any two bodies possessing mass there exists a mutual attraction. This is the intuition that Newton made quantitative: the force does not depend on the nature of the bodies, only on their masses and the distance separating them. The larger the masses, the stronger the attraction; the further apart the bodies, the weaker it becomes, decreasing with the square of the distance.

Newton's law of universal gravitation

Between two bodies of mass $m_1$ and $m_2$ at distance $d$ (measured between their centres) there exists an attractive force directed along the line joining their centres, of magnitude: $\ev{F = G\,\frac{m_1\,m_2}{d^2}}$ where $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\;\text{N\,m}^2/\text{kg}^2$ is the universal gravitational constant.

Two features distinguish this force. It is always attractive, unlike Coulomb’s law, where charges of the same sign repel each other: masses never repel. And it is universal, meaning it holds between any pair of objects possessing mass, from an apple to a galaxy. The two forces that the masses exchange are equal and opposite, in accordance with Newton’s third law.

The gravitational force between two masses is always attractive, directed along the line joining their centres. The two forces $\vec{F}_{12}$ and $\vec{F}_{21}$ are equal and opposite (Newton’s third law).

The tiny value of $G$ explains why we do not notice the attraction between everyday objects: two people standing close together attract each other with a wholly negligible force. Gravity only becomes dominant when at least one astronomical mass is involved, such as that of a planet or a star.

The Cavendish experiment (1798)

Henry Cavendish measured $G$ with a torsion balance. A light rod of length $L$, with a lead ball of mass $m$ at each end, hangs from a thin wire attached at its centre. A large sphere of mass $M$ is brought near each ball, at distance $d$, on opposite sides for the two balls. The two attractions $F = G\,Mm/d^2$ make the rod turn, and the wire twists until its restoring torque $\kappa\,\theta$ balances them: $2 \cdot G\frac{Mm}{d^2} \cdot \frac{L}{2} = \kappa\,\theta \quad\Longrightarrow\quad \ev{G = \frac{\kappa\,\theta\,d^2}{M\,m\,L}}$ The torsion constant $\kappa$ of the wire is found by letting the free rod oscillate and measuring its period. The forces involved are tiny, of the order of $10^{-7}$ N: the angle $\theta$ is so small that Cavendish read it through a telescope, from outside the closed room, so as not to disturb the apparatus with air currents and the heat of his own body.

Why we say he “weighed the Earth”. The weight of a body at the surface is $mg = G\,m M_T/R_T^2$. Before Cavendish, $g$ and $R_T$ were known but $G$ was not, so the mass of the Earth was unknown. Once $G$ is measured: $M_T = \frac{g\,R_T^2}{G} = \frac{9{,}81 \cdot (6{,}37\cdot 10^{6})^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}}\ \text{kg} \approx 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$ Dividing by the volume $\tfrac{4}{3}\pi R_T^3$ gives an average density of about $5{,}5\cdot 10^3$ kg/m³, twice that of surface rocks: the Earth’s interior must be much denser. Cavendish found $5{,}45$ times the density of water, within $2\%$ of today’s value.

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La legge di gravitazione universale non sostituisce la formula $F_\text{peso} = mg$ che già conosciamo: la contiene. Vicino alla superficie terrestre, la forza con cui la Terra attrae un corpo di massa $m$ è proprio il suo peso, e da qui si ricava il significato profondo di $g$: non è una costante misteriosa, ma il campo gravitazionale prodotto dalla Terra alla sua superficie.

Scrivendo la legge universale per un corpo appoggiato sulla Terra (massa $M_T$, raggio $R_T$):

$F = G\frac{M_T\,m}{R_T^2} = m\underbrace{\frac{GM_T}{R_T^2}}_{g}$

Il fattore che moltiplica $m$ è esattamente $g$. Sostituendo $M_T = 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ e $R_T = 6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$:

$g = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{(6{,}4\cdot 10^6)^2} = 9{,}78\;\text{m/s}^2$

Il valore misurato sperimentalmente è $9{,}81\;\text{m/s}^2$; la piccola differenza è dovuta alla rotazione terrestre e alla forma non perfettamente sferica della Terra.

Formula chiave

$\ev{g = \frac{GM_T}{R_T^2}}$ L’accelerazione di gravità in superficie dipende da $M_T$ e $R_T$ del pianeta: su un altro corpo celeste vale un altro numero.

Questa relazione ha una conseguenza pratica notevole: pesare un corpo alla superficie di un pianeta e misurarne il raggio permette di risalire alla massa del pianeta stesso. È la porta d’ingresso della gravitazione come strumento di misura cosmica.

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The law of universal gravitation does not replace the formula $F_\text{peso} = mg$ we already know: it contains it. Near the Earth’s surface, the force with which the Earth attracts a body of mass $m$ is precisely its weight, and from this we obtain the deeper meaning of $g$: it is not a mysterious constant, but the gravitational field produced by the Earth at its surface.

Writing the universal law for a body resting on the Earth (mass $M_T$, radius $R_T$):

$F = G\frac{M_T\,m}{R_T^2} = m\underbrace{\frac{GM_T}{R_T^2}}_{g}$

The factor multiplying $m$ is exactly $g$. Substituting $M_T = 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ and $R_T = 6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$:

$g = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{(6{,}4\cdot 10^6)^2} = 9{,}78\;\text{m/s}^2$

The experimentally measured value is $9{,}81\;\text{m/s}^2$; the small difference is due to the Earth’s rotation and its not-quite-spherical shape.

Key formula

$\ev{g = \frac{GM_T}{R_T^2}}$ The acceleration due to gravity at the surface depends on the planet’s $M_T$ and $R_T$: on another celestial body it takes a different value.

This relation has a remarkable practical consequence: weighing a body at a planet’s surface and measuring its radius lets us work out the planet’s own mass. This is the gateway to gravitation as a tool for cosmic measurement.

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