Contare le linee: il campo dalla densità

Le cinque regole delle linee di campo diventano quantitative con una semplice scelta di convenzione: si stabilisce che ogni linea di campo “rappresenti” la stessa quantità di carica. Una volta fissato questo valore, l’intensità del campo si può ricavare contando le linee, senza dover risolvere alcun integrale. È il salto che trasforma un’immagine intuitiva in uno strumento di calcolo.

Principio — Calcolo di $|\vec{E}|$ dalla densità di linee

Scegli in un punto una piccola superficie $S_\perp$ perpendicolare alle linee di campo. Sia $N$ la carica equivalente (in coulomb) delle linee che la attraversano. Allora: $\ev{|\vec{E}| = 4\pi k\,\frac{N}{S_\perp}}$

Il cuore dell’idea è che l’intensità del campo coincide con la densità di linee: quanto più le linee si affollano attraversando una data superficie, tanto più intenso è il campo in quel punto. La superficie deve essere perpendicolare alle linee proprio perché conti solo le linee che la “forano” davvero, non quelle che la sfiorano di taglio.

Formula chiave

Linee di campo: $|\vec{E}| = 4\pi k\,\frac{N}{S_\perp}$ dove $N$ è la carica equivalente delle linee che attraversano $S_\perp$, superficie perpendicolare al campo.

Ricorda: $4\pi k = 1/\varepsilon_0$.

Questa formula è il metodo operativo del paradigma di Faraday: non serve conoscere né la carica $Q$ delle sorgenti né la distanza $r$, basta contare le linee che attraversano una superficie perpendicolare. La costante $4\pi k$, che possiamo anche scrivere come $1/\varepsilon_0$, fa da ponte fra la geometria delle linee e le unità fisiche del campo.

Esempio — Verifica su carica puntiforme

Da una carica $Q$ escono $N = Q$ coulomb di linee (per la regola 5). A distanza $r$, queste linee si distribuiscono uniformemente su una sfera di area $S_\perp = 4\pi r^2$. Quindi: $|\vec{E}| = 4\pi k\,\frac{Q}{4\pi r^2} = k\,\frac{Q}{r^2}$ Ritroviamo esattamente il campo della carica puntiforme: la formula del conteggio è coerente con la legge di Coulomb.

Il conto tornante non è una coincidenza: la simmetria sferica fa sì che tutte le linee attraversino la sfera perpendicolarmente e in modo uniforme, così la densità $N/S_\perp$ è la stessa in ogni punto della superficie e si semplifica pulita nella $1/r^2$ attesa.

Il metodo della superficie perpendicolare: si sceglie $S_\perp$ ortogonale alle linee di campo (in verde) e si conta quante linee la forano ($N = 7$ in questo esempio). Il campo vale $|\vec{E}| = 4\pi k\, N/S_\perp$. Dove le linee sono più fitte, $N/S_\perp$ è maggiore, quindi il campo è più intenso.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale · Elettrostatica Concetti: Campo elettrico Competenze: Principio di sovrapposizione

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