Dipolo e carica di prova

Testo

Dipolo e carica di prova. Due cariche $+q=+5\;\text{nC}$ e $-q=-5\;\text{nC}$ distano $d=4\;\text{cm}$ sul segmento orizzontale. Una piccola carica di prova $q_p=+1\;\text{nC}$ di massa $m=1\cdot 10^{-12}\;\text{kg}$ è posta nel punto $P$ equidistante $L=10\;\text{cm}$ dai due estremi del dipolo come in figura.

(a) Disegna i due campi $\vec{E}_+$ e $\vec{E}_-$ in $P$ e il loro risultante. (b) Calcola il modulo del campo totale $E_P$ in $P$. (c) Stima la velocità che la carica di prova, lasciata libera, raggiungerebbe partendo da ferma quando il potenziale è sceso di $\Delta V=1\;\text{mV}$ dal valore in $P$.

Soluzione

(a) Costruzione dei campi. In $P$ il campo $\vec{E}_+$ è diretto lontano da $+q$ (lungo la congiungente $+q\to P$); il campo $\vec{E}_-$ è diretto verso $-q$ (lungo $P\to -q$). Le due cariche sono uguali in modulo ed equidistanti da $P$, quindi $|\vec{E}_+| = |\vec{E}_-|$. Le componenti verticali si annullano, mentre le componenti orizzontali si sommano: il campo risultante $\vec{E}_P$ è orizzontale, parallelo all’asse del dipolo, diretto dal polo $+$ verso il polo $-$.

(b) Modulo del campo totale. Ogni carica dista $L=0{,}10\;\text{m}$ da $P$, quindi il campo di una singola carica è $E_1 = k\,\frac{q}{L^2} = (9\cdot 10^9)\,\frac{5\cdot 10^{-9}}{(0{,}10)^2} = 4{,}5\cdot 10^{3}\;\text{V/m}$ Solo la componente orizzontale sopravvive; il fattore geometrico è $\cos\theta = (d/2)/L = 0{,}02/0{,}10 = 0{,}2$. Sommando i due contributi: $E_P = 2\,E_1\cos\theta = 2\,(4{,}5\cdot 10^{3})\,(0{,}2)$ $\ev{E_P \approx 1{,}8\cdot 10^{3}\;\text{V/m}, \quad \vec{E}_P \parallel \text{asse del dipolo}}$

(c) Velocità con la conservazione dell’energia. Il lavoro del campo sulla carica di prova si converte in energia cinetica: $q_p\,\Delta V = \tfrac12\,m\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{2\,q_p\,\Delta V}{m}}$ Sostituendo $q_p = 1\cdot 10^{-9}\;\text{C}$, $\Delta V = 1\cdot 10^{-3}\;\text{V}$, $m = 1\cdot 10^{-12}\;\text{kg}$: $v = \sqrt{\frac{2\,(1\cdot 10^{-9})\,(1\cdot 10^{-3})}{1\cdot 10^{-12}}} = \sqrt{2}\;\text{m/s}$ $\ev{v \approx 1{,}4\;\text{m/s}}$ Il metodo (forza $\vec{F}=q_p\vec{E}$ parallela al dipolo, poi bilancio energetico $q_p\Delta V = \tfrac12 mv^2$) è quello richiesto; con i dati assegnati la velocità raggiunta per una caduta di potenziale di appena $1\;\text{mV}$ è dell’ordine del m/s.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Dipolo elettrico · Campo elettrico Competenze: Principio di sovrapposizione · Conservazione dell’energia