Disegna le equipotenziali

Testo

Disegna le equipotenziali. Un conduttore sferico carico di raggio $R$ è posto nel vuoto. Sulla base delle sezioni 14.5 e 14.6 del capitolo, disegna sullo stesso piano: (a) almeno quattro linee di campo elettrico nella regione $r>R$; (b) almeno tre superfici equipotenziali; (c) indica con frecce la direzione di $\vec{E}$ e verifica graficamente la proprietà $\vec{E}\perp$ equipotenziali. (d) Cosa cambia se il conduttore è sostituito da un dipolo? Fai un secondo schizzo e confrontalo, ispirandoti alle costruzioni grafiche di Epstein (Epstein 2002).

Soluzione

(a) Linee di campo della sfera. Fuori da una sfera conduttrice carica il campo è identico a quello di una carica puntiforme posta al centro: le linee di campo sono raggi rettilinei che escono radialmente dalla superficie (se la carica è positiva) e si diradano allontanandosi, con $E \propto 1/r^2$. Se ne disegnano almeno quattro, equispaziate angolarmente.

(b) Superfici equipotenziali. Il potenziale dipende solo da $r$: $V(r) = kQ/r$. Le superfici a potenziale costante sono quindi sfere concentriche (nel piano del disegno: circonferenze concentriche) centrate sulla sfera. Se ne tracciano almeno tre a raggi crescenti; poiché $V\propto 1/r$, per passi uguali di potenziale le circonferenze si distanziano progressivamente.

(c) Ortogonalità. Le frecce di $\vec{E}$ puntano radialmente verso l’esterno. In ogni punto la linea di campo (radiale) incontra la circonferenza equipotenziale (concentrica) formando un angolo retto: $\ev{\vec{E} \perp \text{superfici equipotenziali}}$ Questo discende dal fatto che $\vec{E} = -\nabla V$: il campo punta nella direzione di massima variazione del potenziale, ossia perpendicolare alle superfici $V = \text{cost}$. Lungo un’equipotenziale il campo non compie lavoro.

(d) Il caso del dipolo. Sostituendo la sfera con un dipolo $+Q/-Q$ la simmetria sferica si perde: le linee di campo escono da $+Q$ ed entrano in $-Q$ curvandosi ad arco; le equipotenziali non sono più circonferenze concentriche ma curve chiuse deformate (ovali) che avvolgono ciascuna carica, con un’equipotenziale $V=0$ che coincide con il piano mediano perpendicolare al segmento del dipolo. Anche in questo caso, in ogni punto, $\vec{E}$ resta ortogonale all’equipotenziale che vi passa. Le costruzioni grafiche di Epstein mostrano bene come la rete “linee di campo / equipotenziali” formi ovunque una griglia a maglie ortogonali.

Vedi Riferimenti bibliografici per (Epstein 2002).

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Potenziale elettrico · Conduttori in equilibrio elettrostatico · Dipolo elettrico Metodi: Metodo del gradiente Oggetti: Sfera carica