Campo di un guscio sferico

Il guscio sferico (o sfera cava) uniformemente carico è uno dei risultati più eleganti dell’elettrostatica: fuori si comporta come una carica puntiforme, dentro il campo è esattamente nullo.

Principio — Campo del guscio sferico

Un guscio sferico conduttore di raggio $R$ con carica $Q$ genera: $\begin{aligned} E &= k\,\frac{Q}{r^2} & &(r > R) \quad \text{come carica puntiforme} \\ E &= 0 & &(r < R) \quad \text{campo nullo all'interno} \end{aligned}$ Il potenziale all’interno è costante e pari a $V = kQ/R$.

Formula chiave

Guscio sferico di raggio $R$: $\ev{E = 0 \quad (r < R), \qquad V = \frac{kQ}{R} \quad (r \leq R)}$ Il potenziale interno è costante, uguale al valore assunto sulla superficie.

Perché $E = 0$ dentro? Per la simmetria sferica, una superficie gaussiana interna (una sfera di raggio $r < R$) non racchiude alcuna carica, poiché tutta la carica $Q$ sta sul guscio esterno. Il teorema di Gauss dà allora

$\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0$

e, poiché per simmetria il campo dovrebbe essere lo stesso in ogni punto della superficie gaussiana, l’unica possibilità compatibile con flusso nullo è $E = 0$ in ogni punto interno.

Note

Il guscio sferico è alla base della gabbia di Faraday: un conduttore cavo scherma completamente il proprio interno dai campi elettrici esterni. Questo principio è sfruttato nei laboratori di misure elettriche, nella schermatura dei forni a microonde e nell’elettronica di precisione.

Campo del guscio sferico uniformemente carico. Le linee di campo escono solo verso l’esterno, come da una carica puntiforme. All’interno non ci sono linee: $E = 0$. Il potenziale interno è costante e uguale al valore sulla superficie.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss · Conduttori in equilibrio elettrostatico Oggetti: Sfera carica

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