Esercizio svolto — dipolo elettrico sull'asse

Testo

Due cariche $+q$ e $-q$ separate da una piccola distanza $d$. (a) Modulo del campo elettrico sull’asse del dipolo a distanza $r \gg d$ dal centro. (b) Confronto con il campo di una sola carica.

Soluzione

(a) Campo sull’asse. Poniamo il centro del dipolo nell’origine e consideriamo il punto $P$ sull’asse a distanza $r$ dal centro. Il punto $P$ dista $r-d/2$ dalla carica positiva e $r+d/2$ dalla negativa. I due contributi, entrambi diretti da $+q$ verso $-q$ (cioè lungo l’asse), sono opposti in verso e quindi si sottraggono in modulo: $E = kq\left[\frac{1}{(r-d/2)^2} - \frac{1}{(r+d/2)^2}\right].$ Sviluppando al primo ordine per $d/r \ll 1$ (con $(1\mp x)^{-2}\approx 1\pm 2x$): $E \approx kq\cdot\frac{2rd}{r^4} = \frac{2kqd}{r^3} = \ev{E = \frac{2kp}{r^3}},$ dove $p = qd$ è il momento di dipolo.

(b) Confronto. Una singola carica genera un campo che decade come $1/r^2$; il dipolo decade come $1/r^3$, cioè più rapidamente. Il motivo fisico: a grandi distanze le due cariche opposte si “vedono” quasi coincidenti e i loro campi si compensano quasi del tutto, lasciando solo un residuo che scende più in fretta. È lo stesso motivo per cui, da lontano, l’acqua appare elettricamente neutra anche se le sue molecole possiedono un momento di dipolo non nullo.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Dipolo elettrico · Campo elettrico Competenze: Principio di sovrapposizione Metodi: Metodo del gradiente Oggetti: Sfera carica