Stima Fermi — energia di una nuvola

Testo

Stima Fermi: energia di una nuvola temporalesca. Stima l’energia immagazzinata in una nuvola temporalesca, modellata come una lastra carica di lato $L = 5\;\text{km}$, altezza $h = 5\;\text{km}$ dal suolo, con campo elettrico medio $E = 10^5\;\text{V/m}$. Quanti giorni di consumo elettrico di una casa media equivale? Stima anche la potenza istantanea di scarica supponendo $\Delta t \sim 1$ ms.

Soluzione

Densità di energia del campo. L’energia per unità di volume di un campo elettrico è $u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\cdot (10^5)^2 \approx 4{,}4\cdot 10^{-2}\;\text{J/m}^3.$

Volume della regione di campo. Fra nuvola e suolo il campo occupa un volume $\mathcal{V} = L^2\,h = (5\cdot 10^3)^2\cdot 5\cdot 10^3 = 1{,}25\cdot 10^{11}\;\text{m}^3.$

Energia totale. $U = u\,\mathcal{V} \approx 4{,}4\cdot 10^{-2}\cdot 1{,}25\cdot 10^{11} \approx \ev{U \sim 5\cdot 10^{9}\;\text{J}}.$ In chilowattora: $U \approx 5\cdot 10^9 / 3{,}6\cdot 10^6 \approx \ev{1500\;\text{kWh}}$. Con un consumo domestico medio di $\sim 10$ kWh al giorno, equivale a circa $150$ giorni, cioè qualche mese di elettricità di una casa.

Potenza di scarica. Se tutta questa energia si libera in un fulmine di durata $\Delta t \sim 1\;\text{ms}$: $P = \frac{U}{\Delta t} \approx \frac{5\cdot 10^9}{10^{-3}} \approx \ev{5\cdot 10^{12}\;\text{W} \sim 5\;\text{TW}}.$ Una potenza di picco dell’ordine dei terawatt — paragonabile alla potenza elettrica dell’intero pianeta — ma erogata solo per un istante. È la firma tipica di un fulmine: enorme potenza, energia complessiva modesta.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo · Campo elettrico Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Piano infinito carico