Densità di energia elettrica

La relazione $u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ meriterebbe il primo posto nell’interpretazione dell’elettrostatica: ci dice che l’energia non sta sulle cariche, ma nello spazio dove il campo esiste. Ovunque c’è un campo $E$, c’è una densità di energia per unità di volume proporzionale al quadrato del suo modulo. È un cambio di prospettiva profondo: smettiamo di pensare all’energia come “accumulata dagli oggetti” e cominciamo a pensarla come diffusa nello spazio, seguendo il campo punto per punto.

Principio — Densità di energia elettrica

In ogni punto dello spazio in cui c’è un campo elettrico di modulo $E$, l’energia per unità di volume vale $\ev{u_E = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2 \qquad [\text{J/m}^3]}$ L’energia totale immagazzinata in una regione di volume $V$ si ottiene integrando: $U = \int_V u_E\,\dd V$.

Il risultato è stato derivato nel caso speciale del condensatore piano, ma ha validità generale. Basta immaginare di caricare lentamente una qualunque distribuzione di cariche: il lavoro fatto contro le forze elettrostatiche si trasferisce nel campo che nasce, con la stessa densità $u_E$ in ogni punto dello spazio.

Esempio — Energia del campo di una sfera carica

Una sfera conduttrice di raggio $R$ porta carica $Q$. All’esterno il campo è quello di una carica puntiforme, all’interno è nullo: $E(r) = \frac{kQ}{r^2} \quad (r > R), \qquad E(r) = 0 \quad (r < R)$ La densità di energia è $u_E(r) = \tfrac12\varepsilon_0 E^2 = \dfrac{kQ^2}{8\pi r^4}$ (usando $\varepsilon_0 = 1/(4\pi k)$). Integrando su gusci sferici $\dd V = 4\pi r^2\,\dd r$ da $R$ all’infinito: $U_{\text{tot}} = \int_R^{\infty}\! u_E(r)\,4\pi r^2\,\dd r = \frac{kQ^2}{2R}$ Lo stesso risultato segue dalla formula $U = \tfrac12 Q V$ applicata a una sfera conduttrice di potenziale $V = kQ/R$: conferma che l’energia elettrostatica si può equivalentemente “contare” sulle cariche ($\tfrac12 QV$) oppure sul campo ($\int u_E\,\dd V$).

Curiosità — Dove sta davvero l'energia?

La domanda non è banale: per le cariche ferme le due descrizioni sono equivalenti. Ma non appena il campo diventa dipendente dal tempo (onde elettromagnetiche, induzione) la descrizione locale $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2 + \tfrac{1}{2\mu_0} B^2$ è l’unica che tiene: l’energia viaggia nello spazio insieme al campo, a velocità $c$. Lo vedremo nel capitolo sulle onde elettromagnetiche.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo · Campo elettrico

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