Il caso aureo: resistori uguali

Un caso particolarmente elegante della scala infinita si ottiene quando tutti i resistori valgono lo stesso $R$, cioè $R_A = R_B = R$. L’equazione di autosomiglianza diventa:

$Z_\infty^2 - R\,Z_\infty - R^2 = 0$

Applicando la formula risolutiva e tenendo solo la radice positiva:

$Z_\infty = \frac{R + \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \frac{R(1 + \sqrt{5})}{2} = R\,\varphi$

dove

$\ev{\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618}$

è il celebre rapporto aureo. La scala infinita di resistori identici “conosce” la sezione aurea.

Il risultato è sorprendente: il circuito non ha nulla di geometricamente speciale, eppure genera spontaneamente il numero irrazionale più famoso della geometria. La radice aurea appare ogni volta che qualcosa si definisce tramite la propria autosomiglianza — ed è esattamente ciò che fa la scala infinita.

Perché proprio $\varphi$

Il rapporto aureo è la soluzione positiva di $x^2 = x + 1$, cioè $x = 1 + 1/x$: un numero uguale a “uno più il proprio reciproco”. La scala infinita costruisce fisicamente questa relazione, con $R$ in serie ($+R$) e $R$ in parallelo (il reciproco), da cui $Z_\infty = R\varphi$.

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo

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