Condensatori nei circuiti

Un condensatore in un circuito in corrente continua accumula carica sulle proprie armature finché la differenza di potenziale ai suoi capi eguaglia quella imposta dal circuito. Raggiunto il regime stazionario, la carica smette di variare e nel ramo del condensatore non scorre più corrente. È utile saper combinare condensatori in serie e in parallelo, come si fa con i resistori — ma attenzione: le regole sono scambiate rispetto alle resistenze. Nell’ultima parte vediamo come il condensatore si carica e si scarica nel tempo attraverso un resistore (circuito RC).

• Condensatori in parallelo
• Condensatori in serie
• Analogia resistori-condensatori ed energia immagazzinata
• Carica e scarica del condensatore (circuito RC)

A capacitor in a direct-current circuit accumulates charge on its plates until the potential difference across it equals the one imposed by the circuit. Once steady state is reached, the charge stops changing and no more current flows in the capacitor’s branch. It is useful to know how to combine capacitors in series and in parallel, as with resistors — but beware: the rules are swapped compared with resistances. In the last part we see how a capacitor charges and discharges over time through a resistor (RC circuit).

• Capacitors in parallel
• Capacitors in series
• Resistor-capacitor analogy and stored energy
• Charging and discharging a capacitor (RC circuit)

Due condensatori sono in parallelo quando sono collegati fra gli stessi due nodi: hanno quindi ai capi la stessa tensione $V$ imposta dal circuito.

Condensatori in parallelo: stessa tensione $V$ ai capi di $C_1$ e $C_2$, cariche additive.

Ciascuno accumula la carica corrispondente alla sua capacità:

$Q_1 = C_1 V, \qquad Q_2 = C_2 V$

La carica totale erogata dal circuito si ripartisce sui due, quindi $Q = Q_1 + Q_2$. Il condensatore equivalente deve soddisfare $Q = C_\text{par}\,V$, da cui:

Formula chiave

$\ev{C_\text{par} = C_1 + C_2}$

Le capacità in parallelo si sommano direttamente — comportamento opposto a quello dei resistori (che si sommano in serie). Intuizione: mettere condensatori in parallelo equivale ad affiancare le armature, aumentando la superficie disponibile ad accumulare carica a parità di tensione.

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Two capacitors are in parallel when they are connected between the same two nodes: they therefore have the same voltage $V$ across them, imposed by the circuit.

Capacitors in parallel: the same voltage $V$ across $C_1$ and $C_2$, charges add.

Each accumulates the charge corresponding to its capacitance:

$Q_1 = C_1 V, \qquad Q_2 = C_2 V$

The total charge delivered by the circuit is shared between the two, so $Q = Q_1 + Q_2$. The equivalent capacitor must satisfy $Q = C_\text{par}\,V$, from which:

Key formula

$\ev{C_\text{par} = C_1 + C_2}$

Capacitances in parallel add directly — behaviour opposite to that of resistors (which add in series). Intuition: putting capacitors in parallel is equivalent to placing the plates side by side, increasing the surface available to store charge at the same voltage.

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Due condensatori sono in serie quando sono collegati uno di seguito all’altro lungo lo stesso ramo. Il conduttore interno compreso fra i due è isolato: la carica che arriva su un’armatura respinge una carica uguale sull’armatura opposta del vicino. Ne segue la proprietà chiave: i due condensatori portano la stessa carica $Q$.

Le tensioni ai capi di ciascuno valgono allora:

$V_1 = \frac{Q}{C_1}, \qquad V_2 = \frac{Q}{C_2}$

La tensione totale imposta dal circuito è la somma delle due cadute:

$V = V_1 + V_2 = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right)$

Imponendo $V = Q / C_\text{ser}$ si ottiene la regola dei reciproci:

Formula chiave

$\ev{\frac{1}{C_\text{ser}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}}$

I reciproci delle capacità in serie si sommano — proprio come fanno i resistori in parallelo. La capacità equivalente in serie è quindi sempre minore della più piccola: aggiungere condensatori in serie equivale ad allontanare le armature, riducendo la capacità complessiva.

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Two capacitors are in series when they are connected one after the other along the same branch. The internal conductor between the two is isolated: the charge arriving on one plate repels an equal charge on the facing plate of its neighbour. The key property follows: the two capacitors carry the same charge $Q$.

The voltages across each are then:

$V_1 = \frac{Q}{C_1}, \qquad V_2 = \frac{Q}{C_2}$

The total voltage imposed by the circuit is the sum of the two drops:

$V = V_1 + V_2 = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right)$

Imposing $V = Q / C_\text{ser}$ gives the reciprocal rule:

Key formula

$\ev{\frac{1}{C_\text{ser}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}}$

The reciprocals of capacitances in series add — just as resistors do in parallel. The equivalent series capacitance is therefore always smaller than the smallest one: adding capacitors in series is equivalent to moving the plates further apart, reducing the overall capacitance.

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Le regole di combinazione di resistori e condensatori sembrano invertite, ma seguono una logica comune se si guarda a quale grandezza è condivisa nel collegamento. Nello stesso tipo di collegamento la grandezza condivisa è la stessa (la tensione in parallelo, la carica/corrente in serie); a cambiare è solo se la grandezza equivalente si somma direttamente o per reciproci.

La regola “semplice” (somma diretta) vale per $R$ in serie e per $C$ in parallelo. La regola “reciproci” vale per $R$ in parallelo e per $C$ in serie. Memorizzata così, l’apparente inversione diventa una simmetria.

Energia immagazzinata

Ogni condensatore di capacità $C$ carico alla tensione $V$ immagazzina energia nel campo elettrico fra le armature: $\ev{U = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2 = \frac{Q^2}{2C}}$ A differenza del resistore, che dissipa, il condensatore conserva questa energia e può restituirla scaricandosi.

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The combination rules for resistors and capacitors seem inverted, but they follow a common logic if one looks at which quantity is shared in the connection. Within the same type of connection, the shared quantity is the same (voltage in parallel, charge/current in series); what changes is only whether the equivalent quantity adds directly or by reciprocals.

The “simple” rule (direct sum) holds for $R$ in series and for $C$ in parallel. The “reciprocals” rule holds for $R$ in parallel and for $C$ in series. Remembered this way, the apparent inversion becomes a symmetry.

Stored energy

Every capacitor of capacitance $C$ charged to voltage $V$ stores energy in the electric field between the plates: $\ev{U = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2 = \frac{Q^2}{2C}}$ Unlike the resistor, which dissipates, the capacitor conserves this energy and can give it back on discharging.

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Finora abbiamo guardato i condensatori a regime, quando la carica non cambia più e nel loro ramo non passa corrente. Ma un condensatore non si carica di colpo: se c’è un resistore in serie, la carica arriva un po’ alla volta, rapidamente all’inizio e poi sempre più lentamente. Lo stesso succede quando si scarica. Il tempo caratteristico di questo transitorio è la costante di tempo $\tau = RC$.

In breve

In un circuito con generatore di fem $\mathcal{E}$, resistore $R$ e condensatore $C$ in serie, la tensione sul condensatore in carica sale come $V_C(t) = \mathcal{E}\,(1 - e^{-t/\tau})$ e la corrente scende come $i(t) = (\mathcal{E}/R)\,e^{-t/\tau}$. In scarica su $R$, carica, tensione e corrente decrescono tutte come $e^{-t/\tau}$. La costante di tempo è $\tau = RC$, in secondi. Dopo $\tau$ si è percorso il 63% del cammino, dopo $5\tau$ più del 99%: in pratica il transitorio è finito.

Il circuito e l’equazione della maglia

Un generatore ideale di fem $\mathcal{E}$, un resistore $R$ e un condensatore $C$ inizialmente scarico sono in serie; all’istante $t = 0$ si chiude l’interruttore. In un istante qualsiasi sul condensatore c’è la carica $q$, quindi la tensione $V_C = q/C$, e nel circuito passa la corrente $i$. La legge delle maglie dà $\mathcal{E} - R\,i - \frac{q}{C} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad i = \frac{\mathcal{E} - q/C}{R}.$ Questa relazione dice già tutto in modo qualitativo:

• a $t = 0$ il condensatore è scarico ($q = 0$): si comporta come un filo, e la corrente è massima, $i_0 = \mathcal{E}/R$;
• man mano che $q$ cresce, $V_C$ “si oppone” al generatore, la tensione su $R$ diminuisce e la corrente cala;
• a regime $V_C = \mathcal{E}$, la corrente è nulla e il condensatore si comporta come un circuito aperto.

Più carica c’è, più lentamente ne arriva altra: è la firma di un andamento esponenziale. Poiché la corrente è la rapidità con cui arriva carica, $i = \Delta q/\Delta t$ (al limite $i = dq/dt$), l’equazione della maglia è un’equazione differenziale; la sua soluzione con $q(0) = 0$ è quella qui sotto. (Quando si studiano le derivate, al 5° anno, si può verificare sostituendo la soluzione nell’equazione.)

Il numero $e$ e il logaritmo naturale

$e \approx 2{,}718$ è un numero, come $\pi$: è la base «naturale» degli esponenziali che descrivono i processi in cui la rapidità di variazione è proporzionale a quanto resta da cambiare. Basta sapere che $e^{-1} \approx 0{,}37$, $e^{-2} \approx 0{,}14$, e che $e^{-x}$ diminuisce sempre più lentamente al crescere di $x$. Il logaritmo naturale $\ln$ è l’operazione inversa: $\ln y$ è l’esponente a cui elevare $e$ per ottenere $y$. Così, se $e^{-t/\tau} = y$, allora $t = -\tau\ln y = \tau\ln(1/y)$; per esempio $\ln 2 \approx 0{,}69$ e $\ln 100 \approx 4{,}61$ (tasto «ln» della calcolatrice).

La carica

Carica del condensatore

$\ev{q(t) = C\mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$

$\ev{V_C(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$

$\ev{i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\,e^{-t/\tau}}$ $\ev{\tau = R\,C}$

La tensione sul resistore è $V_R = R\,i = \mathcal{E}\,e^{-t/\tau}$: in ogni istante $V_R + V_C = \mathcal{E}$, come vuole la legge delle maglie.

La costante di tempo

Unità. $[R][C] = \dfrac{\text{V}}{\text{A}}\cdot\dfrac{\text{C}}{\text{V}} = \dfrac{\text{C}}{\text{A}} = \text{s}$. Un ohm per un farad è un secondo: $1\ \text{k}\Omega\cdot 1\ \mu\text{F} = 1$ ms.

Significato. Sostituendo $t = \tau, 2\tau, \dots$ in $1 - e^{-t/\tau}$ (carica) e in $e^{-t/\tau}$ (scarica):

Due modi pratici di leggere $\tau$ su un grafico:

• è il tempo dopo il quale la tensione ha raggiunto il 63% del valore finale (in scarica: è scesa al 37% del valore iniziale);
• la tangente alla curva nell’origine incontra l’asintoto proprio a $t = \tau$: se la corrente restasse quella iniziale $\mathcal{E}/R$, il condensatore si caricherebbe del tutto in un tempo $\tau$.

Carica: $V_C$ sale verso l’asintoto $\mathcal{E}$; a $t=\tau$ vale il 63% di $\mathcal{E}$, e la tangente nell’origine raggiunge $\mathcal{E}$ proprio a $t=\tau$.

Più grande $R$ o $C$, più lento il transitorio

Un resistore grande lascia passare poca corrente, un condensatore grande ha bisogno di molta carica: in entrambi i casi serve più tempo. La tensione finale $\mathcal{E}$ invece non dipende né da $R$ né da $C$.

La scarica

Ora il condensatore è carico con $Q_0 = C\,V_0$ e all’istante $t = 0$ lo si collega a un resistore $R$ (senza generatore). La maglia dà $q/C = R\,|i|$: il condensatore fa da “pila” che si esaurisce.

Scarica del condensatore

$\ev{q(t) = Q_0\,e^{-t/\tau}}$

$\ev{V_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}}$

$\ev{|i(t)| = \frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}}$ La corrente circola in verso opposto a quello della carica.

Scarica: tensione e corrente scendono con la stessa esponenziale; a $t=\tau$ restano al 37% del valore iniziale. Durante la scarica la corrente $i$ circola in verso opposto a quello che aveva durante la carica.

Il tempo per dimezzare la tensione è $t_{1/2} = \tau\ln 2 \approx 0{,}69\,\tau$; per scendere a una frazione $V/V_0$ qualsiasi basta prendere il logaritmo: $t = \tau\,\ln(V_0/V)$.

Il bilancio energetico della carica

Durante la carica il generatore sposta la carica totale $Q = C\mathcal{E}$ attraverso la fem $\mathcal{E}$, quindi compie il lavoro $W_{\text{gen}} = Q\,\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2$. Nel condensatore carico rimane però solo $U = \tfrac12\,C\,\mathcal{E}^2,$ cioè metà. L’altra metà, $\tfrac12 C\mathcal{E}^2$, è stata dissipata per effetto Joule nel resistore, qualunque sia il valore di $R$: un resistore piccolo dà una corrente grande per poco tempo, uno grande una corrente piccola per tanto tempo, ma il calore totale è lo stesso.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Il condensatore del flash

Una pila da $\mathcal{E} = 9{,}0$ V carica un condensatore da $C = 100\ \mu$F attraverso $R = 2{,}0\ \text{k}\Omega$. Calcola: (a) $\tau$ e la corrente iniziale; (b) $V_C$ dopo $0{,}10$ s; (c) il tempo per arrivare al 99% della carica finale.

Soluzione

• (a) $\tau = RC = (2{,}0\cdot10^3)(100\cdot10^{-6}) = 0{,}20$ s; $i_0 = \mathcal{E}/R = 9{,}0/2000 = 4{,}5$ mA.
• (b) $t/\tau = 0{,}50$: $V_C = 9{,}0\,(1 - e^{-0{,}50}) = 9{,}0\cdot 0{,}393 \approx 3{,}5$ V.
• (c) $1 - e^{-t/\tau} = 0{,}99 \Rightarrow e^{-t/\tau} = 0{,}01 \Rightarrow t = \tau\ln 100 = 0{,}20\cdot 4{,}61 \approx 0{,}92$ s (circa $4{,}6\,\tau$).

Esercizio 2 — Scarica su un resistore

Un condensatore da $C = 470\ \mu$F, carico a $V_0 = 12$ V, si scarica su $R = 10\ \text{k}\Omega$. (a) Dopo quanto tempo la tensione è scesa a $3{,}0$ V? (b) Quanta energia è rimasta a quel punto? (c) Dopo quanto tempo l’energia si è dimezzata?

Soluzione

• $\tau = (10\cdot10^3)(470\cdot10^{-6}) = 4{,}7$ s.
• (a) $t = \tau\ln(V_0/V) = 4{,}7\cdot\ln 4 = 4{,}7\cdot 1{,}386 \approx 6{,}5$ s (due dimezzamenti: $12 \to 6 \to 3$ V).
• (b) All’inizio $U_0 = \tfrac12 C V_0^2 = \tfrac12(470\cdot10^{-6})(12)^2 \approx 34$ mJ; a $3{,}0$ V, $U = \tfrac12(470\cdot10^{-6})(3{,}0)^2 \approx 2{,}1$ mJ, cioè $1/16$ di $U_0$.
• (c) $U \propto V_C^2 \propto e^{-2t/\tau}$, quindi l’energia si dimezza in $t = \tfrac12\,\tau\ln2 \approx 1{,}6$ s, metà del tempo di dimezzamento della tensione ($\approx 3{,}3$ s).

Esercizio 3 — Dove va l'energia

Una batteria da $\mathcal{E} = 12$ V carica completamente un condensatore da $200\ \mu$F attraverso $R = 10\ \text{k}\Omega$. Quanto lavoro compie la batteria, quanta energia resta nel condensatore e quanta finisce in calore? Cambierebbe qualcosa con $R = 1\ \text{k}\Omega$?

Soluzione

• $Q = C\mathcal{E} = 200\cdot10^{-6}\cdot 12 = 2{,}4$ mC; $W_{\text{gen}} = Q\mathcal{E} = 28{,}8$ mJ.
• $U = \tfrac12 C\mathcal{E}^2 = 14{,}4$ mJ nel condensatore; $28{,}8 - 14{,}4 = 14{,}4$ mJ dissipati nel resistore.
• Con $R = 1\ \text{k}\Omega$ cambia solo la durata ($\tau$ passa da $2{,}0$ s a $0{,}20$ s): i tre numeri restano uguali.

Lo stesso andamento esponenziale si ritrova nel circuito con resistore e induttore, dove la costante di tempo è $\tau = L/R$.

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So far we have looked at capacitors in steady state, when the charge no longer changes and no current flows in their branch. But a capacitor does not charge instantly: if there is a resistor in series, the charge arrives a little at a time, quickly at first and then more and more slowly. The same happens when it discharges. The characteristic time of this transient is the time constant $\tau = RC$.

In short

In a circuit with a source of emf $\mathcal{E}$, a resistor $R$ and a capacitor $C$ in series, the voltage across the capacitor while charging rises as $V_C(t) = \mathcal{E}\,(1 - e^{-t/\tau})$ and the current falls as $i(t) = (\mathcal{E}/R)\,e^{-t/\tau}$. When discharging through $R$, charge, voltage and current all decrease as $e^{-t/\tau}$. The time constant is $\tau = RC$, in seconds. After one $\tau$ the voltage has completed 63% of its change, after $5\tau$ more than 99%: in practice the transient is over.

The circuit and the loop equation

An ideal source of emf $\mathcal{E}$, a resistor $R$ and an initially uncharged capacitor $C$ are in series; at $t = 0$ the switch is closed. At any instant the capacitor holds charge $q$, so its voltage is $V_C = q/C$, and a current $i$ flows. The loop rule gives $\mathcal{E} - R\,i - \frac{q}{C} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad i = \frac{\mathcal{E} - q/C}{R}.$ This already tells us everything qualitatively:

• at $t = 0$ the capacitor is uncharged ($q = 0$): it behaves like a wire, and the current is at its maximum, $i_0 = \mathcal{E}/R$;
• as $q$ grows, $V_C$ “opposes” the source, the voltage across $R$ drops and the current decreases;
• in steady state $V_C = \mathcal{E}$, the current is zero and the capacitor behaves like an open circuit.

The more charge there is, the more slowly further charge arrives: the signature of exponential behaviour. Since the current is the rate at which charge arrives, $i = \Delta q/\Delta t$ (in the limit $i = dq/dt$), the loop equation is a differential equation; its solution with $q(0) = 0$ is the one below. (In the final year, with derivatives, you can check it by substitution.)

The number $e$ and the natural logarithm

$e \approx 2.718$ is a number, like $\pi$: it is the “natural” base of the exponentials that describe processes in which the rate of change is proportional to how much is left to change. It is enough to know that $e^{-1} \approx 0.37$, $e^{-2} \approx 0.14$, and that $e^{-x}$ decreases more and more slowly as $x$ grows. The natural logarithm $\ln$ is the inverse operation: $\ln y$ is the power to which $e$ must be raised to give $y$. So, if $e^{-t/\tau} = y$, then $t = -\tau\ln y = \tau\ln(1/y)$; for example $\ln 2 \approx 0.69$ and $\ln 100 \approx 4.61$ (the “ln” key on a calculator).

Charging

Charging a capacitor

$\ev{q(t) = C\mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$

$\ev{V_C(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$

$\ev{i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\,e^{-t/\tau}}$ $\ev{\tau = R\,C}$

The voltage across the resistor is $V_R = R\,i = \mathcal{E}\,e^{-t/\tau}$: at every instant $V_R + V_C = \mathcal{E}$, as the loop rule requires.

The time constant

Units. $[R][C] = \dfrac{\text{V}}{\text{A}}\cdot\dfrac{\text{C}}{\text{V}} = \dfrac{\text{C}}{\text{A}} = \text{s}$. One ohm times one farad is one second: $1\ \text{k}\Omega\cdot 1\ \mu\text{F} = 1$ ms.

Meaning. Substituting $t = \tau, 2\tau, \dots$ into $1 - e^{-t/\tau}$ (charging) and into $e^{-t/\tau}$ (discharging):

Two practical ways of reading $\tau$ off a graph:

• it is the time after which the voltage has reached 63% of its final value (when discharging: has fallen to 37% of its initial value);
• the tangent to the curve at the origin meets the asymptote exactly at $t = \tau$: if the current stayed at its initial value $\mathcal{E}/R$, the capacitor would fully charge in a time $\tau$.

Charging: $V_C$ rises towards the asymptote $\mathcal{E}$; at $t=\tau$ it is 63% of $\mathcal{E}$, and the tangent at the origin reaches $\mathcal{E}$ exactly at $t=\tau$.

Larger $R$ or $C$, slower transient

A large resistor lets little current through, a large capacitor needs a lot of charge: either way it takes longer. The final voltage $\mathcal{E}$, however, depends on neither $R$ nor $C$.

Discharging

Now the capacitor is charged with $Q_0 = C\,V_0$ and at $t = 0$ it is connected to a resistor $R$ (no source). The loop rule gives $q/C = R\,|i|$: the capacitor acts as a “battery” that runs down.

Discharging a capacitor

$\ev{q(t) = Q_0\,e^{-t/\tau}}$

$\ev{V_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}}$

$\ev{|i(t)| = \frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}}$ The current flows in the opposite direction to the charging current.

Discharging: voltage and current fall along the same exponential; at $t=\tau$ they are down to 37% of their initial value. During discharge the current $i$ flows in the opposite direction to the one it had during charging.

The time to halve the voltage is $t_{1/2} = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau$; to fall to any fraction $V/V_0$ just take the logarithm: $t = \tau\,\ln(V_0/V)$.

Energy balance of charging

During charging the source moves the total charge $Q = C\mathcal{E}$ through the emf $\mathcal{E}$, so it does work $W_{\text{source}} = Q\,\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2$. Yet the charged capacitor holds only $U = \tfrac12\,C\,\mathcal{E}^2,$ that is half. The other half, $\tfrac12 C\mathcal{E}^2$, has been dissipated as Joule heat in the resistor, whatever the value of $R$: a small resistor gives a large current for a short time, a large one a small current for a long time, but the total heat is the same.

Worked examples

Example 1 — The flash capacitor

A $\mathcal{E} = 9.0$ V battery charges a $C = 100\ \mu$F capacitor through $R = 2.0\ \text{k}\Omega$. Find: (a) $\tau$ and the initial current; (b) $V_C$ after $0.10$ s; (c) the time to reach 99% of the final charge.

Solution

• (a) $\tau = RC = (2.0\cdot10^3)(100\cdot10^{-6}) = 0.20$ s; $i_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/2000 = 4.5$ mA.
• (b) $t/\tau = 0.50$: $V_C = 9.0\,(1 - e^{-0.50}) = 9.0\cdot 0.393 \approx 3.5$ V.
• (c) $1 - e^{-t/\tau} = 0.99 \Rightarrow e^{-t/\tau} = 0.01 \Rightarrow t = \tau\ln 100 = 0.20\cdot 4.61 \approx 0.92$ s (about $4.6\,\tau$).

Example 2 — Discharging through a resistor

A $C = 470\ \mu$F capacitor, charged to $V_0 = 12$ V, discharges through $R = 10\ \text{k}\Omega$. (a) After how long has the voltage fallen to $3.0$ V? (b) How much energy is left at that point? (c) After how long has the energy halved?

Solution

• $\tau = (10\cdot10^3)(470\cdot10^{-6}) = 4.7$ s.
• (a) $t = \tau\ln(V_0/V) = 4.7\cdot\ln 4 = 4.7\cdot 1.386 \approx 6.5$ s (two halvings: $12 \to 6 \to 3$ V).
• (b) Initially $U_0 = \tfrac12 C V_0^2 = \tfrac12(470\cdot10^{-6})(12)^2 \approx 34$ mJ; at $3.0$ V, $U = \tfrac12(470\cdot10^{-6})(3.0)^2 \approx 2.1$ mJ, that is $1/16$ of $U_0$.
• (c) $U \propto V_C^2 \propto e^{-2t/\tau}$, so the energy halves in $t = \tfrac12\,\tau\ln2 \approx 1.6$ s, half the time it takes the voltage to halve ($\approx 3.3$ s).

Example 3 — Where does the energy go?

A $\mathcal{E} = 12$ V battery fully charges a $200\ \mu$F capacitor through $R = 10\ \text{k}\Omega$. How much work does the battery do, how much energy stays in the capacitor and how much becomes heat? Would anything change with $R = 1\ \text{k}\Omega$?

Solution

• $Q = C\mathcal{E} = 200\cdot10^{-6}\cdot 12 = 2.4$ mC; $W_{\text{source}} = Q\mathcal{E} = 28.8$ mJ.
• $U = \tfrac12 C\mathcal{E}^2 = 14.4$ mJ in the capacitor; $28.8 - 14.4 = 14.4$ mJ dissipated in the resistor.
• With $R = 1\ \text{k}\Omega$ only the duration changes ($\tau$ goes from $2.0$ s to $0.20$ s): the three numbers stay the same.

The same exponential behaviour appears in the circuit with a resistor and an inductor, where the time constant is $\tau = L/R$.

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