Esercizio svolto — circuito RC in carica

Testo

Un condensatore $C = 200\;\mu\text{F}$, inizialmente scarico, viene caricato attraverso un resistore $R = 10\;\text{k}\Omega$ da una batteria $V_0 = 12\;\text{V}$. Calcolare: (a) la costante di tempo $\tau$; (b) la tensione sul condensatore agli istanti $t = \tau$, $2\tau$, $5\tau$; (c) l’energia immagazzinata a regime.

Batteria $V_0$, resistore $R$ e condensatore $C$ in serie in un’unica maglia.

Soluzione

(a) Costante di tempo. $\tau = RC = 10^4 \cdot 2\cdot 10^{-4} = 2\;\text{s}$

(b) Tensione sul condensatore. In carica segue la legge $V_C(t) = V_0\,(1 - e^{-t/\tau})$: $V_C(\tau) = 12\,(1 - e^{-1}) \approx 7{,}59\;\text{V}$ $V_C(2\tau) = 12\,(1 - e^{-2}) \approx 10{,}4\;\text{V} \qquad V_C(5\tau) = 12\,(1 - e^{-5}) \approx 11{,}9\;\text{V}$ Dopo cinque costanti di tempo il condensatore è praticamente carico (scostamento da $V_0$ inferiore all’1%).

(c) Energia a regime. A carica completa $V_C \to V_0$: $U_\infty = \tfrac{1}{2}\,C\,V_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^{-4} \cdot 144 = 1{,}44\cdot 10^{-2}\;\text{J} = 14{,}4\;\text{mJ}$ Nota: durante la carica un’uguale quantità di energia viene dissipata su $R$ (proprietà generale dei circuiti RC).

$\ev{\tau = 2\;\text{s},\quad V_C(\tau)\approx 7{,}59\;\text{V},\ V_C(2\tau)\approx 10{,}4\;\text{V},\ V_C(5\tau)\approx 11{,}9\;\text{V},\quad U_\infty = 14{,}4\;\text{mJ}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Circuito RC