Problema — rete di condensatori

Testo

Rete di condensatori. Tre condensatori $C_1 = 3\ \mu\text{F}$, $C_2 = 6\ \mu\text{F}$, $C_3 = 4\ \mu\text{F}$ sono collegati come in figura ($C_2 \parallel C_3$ in serie con $C_1$):

Schema: $C_1$ in serie con il parallelo di $C_2$ e $C_3$, alimentati dal generatore $\mathcal{E}$.

(a) Calcola la capacità equivalente ai capi del generatore. (b) Con $\mathcal{E} = 12\ \text{V}$ determina la carica su $C_1$. (c) Confronta l’energia totale $\tfrac12 C_\text{eq}\mathcal{E}^2$ con la somma $\tfrac12 C_i V_i^2$ di ciascun condensatore.

Soluzione

(a) Capacità equivalente. In parallelo le capacità si sommano: $C_{23} = C_2 + C_3 = 6 + 4 = 10\ \mu\text{F}$ In serie si sommano gli inversi: $\frac{1}{C_\text{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} = \frac{13}{30}\ \mu\text{F}^{-1} \;\Rightarrow\; C_\text{eq} = \frac{30}{13} \approx 2{,}3\ \mu\text{F}$

(b) Carica su $C_1$. In una serie tutti gli elementi portano la stessa carica, pari alla carica erogata dal generatore: $Q_1 = C_\text{eq}\,\mathcal{E} = 2{,}31 \cdot 10^{-6} \cdot 12 \approx 2{,}8 \cdot 10^{-5}\ \text{C}$

(c) Bilancio energetico. Le tensioni sui due blocchi in serie: $V_1 = Q_1/C_1 = 2{,}77\cdot10^{-5}/3\cdot10^{-6} \approx 9{,}23\ \text{V}$, e sul parallelo $V_{23} = \mathcal{E} - V_1 \approx 2{,}77\ \text{V}$. Energia totale dal generatore: $U_\text{tot} = \tfrac12 C_\text{eq}\mathcal{E}^2 = \tfrac12 \cdot 2{,}31\cdot10^{-6} \cdot 12^2 \approx 1{,}66\cdot10^{-4}\ \text{J}$ Somma sui singoli condensatori ($C_2$ e $C_3$ hanno la stessa $V_{23}$): $\sum \tfrac12 C_i V_i^2 = \tfrac12(3\cdot10^{-6})(9{,}23)^2 + \tfrac12(6\cdot10^{-6}+4\cdot10^{-6})(2{,}77)^2 \approx 1{,}28\cdot10^{-4} + 0{,}38\cdot10^{-4} = 1{,}66\cdot10^{-4}\ \text{J}$ I due valori coincidono: l’energia immagazzinata nella rete è la somma delle energie dei singoli condensatori, come deve essere per la conservazione dell’energia.

$\ev{C_\text{eq} \approx 2{,}3\ \mu\text{F} \qquad Q_1 \approx 2{,}8\cdot10^{-5}\ \text{C} \qquad U_\text{tot} \approx 1{,}66\cdot10^{-4}\ \text{J}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Capacità e condensatore Competenze: Semplificazione di reti