Problema — riscaldatore sottoalimentato

Testo

Un riscaldatore nominale $P_\text{nom} = 2000\ \text{W}$ a $V_\text{nom} = 230\ \text{V}$ viene alimentato per errore a $V = 115\ \text{V}$. Calcola la potenza effettivamente dissipata. Per quale ragione fisica essa scala con il quadrato della tensione?

Soluzione

Resistenza del riscaldatore — è una proprietà costruttiva, praticamente costante. La ricavo dai dati nominali: $R = \frac{V_\text{nom}^2}{P_\text{nom}} = \frac{(230\ \text{V})^2}{2000\ \text{W}} = \frac{52900}{2000} \approx 26{,}5\ \Omega$

Potenza a tensione dimezzata — con la stessa $R$ ma $V = 115\ \text{V}$: $P = \frac{V^2}{R} = \frac{(115)^2}{26{,}5} = \frac{13225}{26{,}5} \approx 500\ \text{W}$

Scorciatoia — poiché la tensione è dimezzata ($115 = 230/2$) e $R$ è fissa: $P = \frac{V^2}{R} \propto V^2 \quad\Rightarrow\quad P = \left(\frac{1}{2}\right)^2 P_\text{nom} = \frac{1}{4}\cdot 2000 = 500\ \text{W}$

Perché il quadrato — a resistenza fissata, abbassare la tensione riduce la potenza per due effetti che si moltiplicano: (1) la corrente cala in proporzione a $V$, perché $i = V/R$; (2) la potenza $P = V\,i$ è il prodotto tensione $\times$ corrente. Combinando, $P = V\cdot(V/R) = V^2/R$: dimezzando $V$ si dimezza $i$, e il prodotto dei due si riduce a un quarto.

$\ev{P \approx 500\ \text{W} \quad (\text{un quarto del nominale})}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Effetto Joule