Esercizio svolto — resistore usato come riscaldatore

Testo

Un resistore $R_x$ è collegato a un generatore $\mathcal{E} = 200\;\text{V}$ dotato di resistenza interna $r = 4\;\Omega$. Il resistore deve portare $m = 2\;\text{kg}$ di acqua da $20\,^\circ$C a $100\,^\circ$C in $t = 5\;\text{min} = 300\;\text{s}$. Calore specifico dell’acqua $c = 4180\;\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})$. Trovare il valore di $R_x$.

Generatore reale ($\mathcal{E}$, resistenza interna $r$) che alimenta il riscaldatore $R_x$.

Soluzione

Energia termica richiesta. Per scaldare l’acqua di $\Delta T = 80\;\text{K}$: $\Delta E = m\,c\,\Delta T = 2 \times 4180 \times 80 = 668\,800\;\text{J}$

Potenza da dissipare su $R_x$: $P_{R_x} = \frac{\Delta E}{t} = \frac{668\,800}{300} \approx 2229\;\text{W}$

Bilancio del circuito ($P_{\text{gen}} = P_r + P_{R_x}$, cioè la potenza erogata dalla f.e.m. è dissipata sulla resistenza interna più il riscaldatore): $\mathcal{E}\,i = r\,i^2 + P_{R_x} \;\Rightarrow\; 200\,i = 4\,i^2 + 2229$ ovvero l’equazione di secondo grado $4\,i^2 - 200\,i + 2229 = 0$

Discriminante e soluzioni: $\Delta = 40000 - 35664 = 4336$ $i = \frac{200 \pm \sqrt{4336}}{8} \approx \frac{200 \pm 65{,}9}{8}$ La soluzione fisicamente sensata è $i \approx 16{,}7\;\text{A}$ (l’altra, $i \approx 33{,}2\;\text{A}$, dissiperebbe troppa potenza sulla resistenza interna $r$).

Resistenza del riscaldatore: $R_x = \frac{P_{R_x}}{i^2} = \frac{2229}{16{,}7^2} \approx 8\;\Omega$

$\ev{R_x \approx 8\;\Omega}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Effetto Joule Competenze: Conservazione dell’energia