Problema — Lo strano cielo del pesce

Testo

Lo strano cielo del pesce. Un pesce guarda verso l’alto da sotto la superficie liscia di uno stagno. Il suo indice di rifrazione effettivo è quello dell’acqua, $n \approx 1{,}33$, contro l’aria $n \approx 1$. (a) Calcola l’angolo limite oltre il quale i raggi che provengono dall’esterno non riescono più a entrare in acqua. (b) Disegna lo schema dei raggi che il pesce vede: qual è la forma della “finestra” attraverso cui gli arrivano gli oggetti del mondo esterno? Che cosa vede invece guardando fuori da quella finestra circolare? (c) Stima il raggio di tale finestra se il pesce è a $1{,}0\;\text{m}$ di profondità.

Soluzione

(a) Angolo limite. Per reversibilità dei raggi, l’angolo limite acqua↔aria è lo stesso angolo critico: $\sin\theta_c = n_\text{aria}/n_\text{acqua}$:

$\sin\theta_c = \frac{1}{1{,}33} = 0{,}752 \quad\Rightarrow\quad \ev{\theta_c \approx 48{,}8^\circ}$

(b) Finestra di Snell. Tutta la luce proveniente dalla semisfera del cielo (180°) viene compressa, per rifrazione, entro un cono di semiapertura $\theta_c \approx 48{,}8^\circ$ attorno alla verticale. Il pesce vede quindi l’intero mondo esterno dentro un cerchio luminoso (la “finestra di Snell”) sopra di sé. Al di fuori di quel cerchio l’angolo supera $\theta_c$: si ha riflessione totale interna e il pesce vede il fondo dello stagno riflesso, come in uno specchio.

(c) Raggio della finestra. A profondità $h = 1{,}0\;\text{m}$, il bordo del cono interseca la superficie a distanza

$r = h\,\tan\theta_c = 1{,}0\cdot\tan 48{,}8^\circ = 1{,}0\cdot 1{,}14 \approx \ev{1{,}15\;\mathrm{m}}$

Rielaborato da (Povey 2015, §11.5).

Collegamenti

Argomenti: Ottica Concetti: Rifrazione e legge di Snell Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica