Esercizio svolto — ciclotrone da un chilometro

Testo

Vuoi costruire un ciclotrone di raggio $R = 1\;\text{km}$ per far girare in cerchio ioni di elio completamente ionizzato (He$^{++}$, carica $q = 2e$, massa $m \approx 6{,}6\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$) con energia cinetica $K = 10^{-3}\;\text{J}$. Che valore di campo magnetico serve?

Soluzione

Dall’energia cinetica alla velocità. Da $K = \tfrac{1}{2}mv^2$: $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10^{-3}}{6{,}6\cdot 10^{-27}}} \approx 5{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m/s}$

Questa velocità è maggiore di $c$: significa che a quest’energia gli ioni sono già ultra-relativistici e la formula classica non è più valida. La usiamo solo come controllo dimensionale.

Dal bilancio della forza di Lorentz come centripeta: $qvB = \frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad B = \frac{mv}{qR}$

$B = \frac{6{,}6\cdot 10^{-27}\cdot 5{,}5\cdot 10^{11}}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^3} \approx \ev{11{,}3\;\text{T}}$

Il campo classico $B = mv/(qR) \approx 11{,}3\;\text{T}$ è già enorme, e in realtà è una sottostima: a questa energia ($K = 10^{-3}\;\text{J} \gg mc^2$) gli ioni sono ultra-relativistici e l’impulso corretto vale $p \approx K/c \approx 3{,}3\cdot 10^{-12}\;\text{kg·m/s}$, molto maggiore del classico $mv$, per cui il campo davvero necessario è $B = p/(qR) \approx 1\cdot 10^{4}\;\text{T}$ — molti ordini di grandezza più grande. Nessun magnete reale arriva a tanto: per questo un anello classico da $1\;\text{km}$ non può raggiungere energie del PeV, e il CERN usa magneti superconduttori di $\sim 8\;\text{T}$ con anelli molto più grandi.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Energia cinetica