Il ciclotrone

Il selettore-spettrometro misura velocità fissate dal di fuori. Per accelerare le particelle a energie molto più alte si usa invece il ciclotrone, inventato da Ernest Lawrence nel 1929 (Nobel 1939).

L’idea sfrutta un fatto sorprendente: nel moto circolare in $\vec{B}$ uniforme, il periodo orbitale non dipende dalla velocità. Infatti, da $T = 2\pi r/v$ e $r = mv/(qB)$:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB} \qquad \ev{f_c = \frac{q\,B}{2\pi\,m}}$

La frequenza $f_c$ si chiama frequenza di ciclotrone. È fissata solo dalla particella ($m$, $q$) e dal campo $B$: che la particella sia lenta (cerchio piccolo) o veloce (cerchio grande), impiega lo stesso tempo a completare un giro. Una particella più veloce percorre un cerchio più lungo esattamente alla velocità maggiore che serve a mantenere costante il periodo.

Formula chiave — Ciclotrone

$f_c = \frac{qB}{2\pi m} \quad(\text{indipendente da } v)$ $K_\text{max} = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Il ciclotrone consiste in due semidischi cavi (le D, da “dee”) separati da un piccolo gap. Fra le due D è applicata una tensione alternata di frequenza $f_c$. Una particella iniettata al centro percorre un semicerchio nella prima D, viene accelerata attraversando il gap (dove la tensione ha la direzione giusta), percorre un semicerchio più grande nella seconda D, e così via. Poiché il periodo è costante, il sincronismo con la tensione si mantiene a ogni giro; il raggio cresce a ogni semigiro, fino al bordo dove la particella viene estratta.

Ciclotrone: due D cave separate da un gap con tensione alternata a frequenza $f_c$. La particella spiraleggia verso l’esterno guadagnando energia a ogni passaggio nel gap.

L’energia cinetica massima dipende dal raggio $R$ del dispositivo: quando $r = R$, la velocità è $v_\text{max} = qBR/m$ e quindi

$K_\text{max} = \tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Esempio — Un piccolo ciclotrone per medicina nucleare

Un ciclotrone da $R = 0{,}5\;\text{m}$ con $B = 1{,}5\;\text{T}$ accelera protoni ($m_p \approx 1{,}67\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$, $q = e$): $K_\text{max} = \frac{(1{,}6\cdot 10^{-19})^2\,(1{,}5)^2\,(0{,}5)^2}{2\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}} \approx 4{,}3\cdot 10^{-12}\;\text{J} \approx 27\;\text{MeV}$ con $f_c = qB/(2\pi m) \approx 23\;\text{MHz}$. Energie di questo ordine bastano a produrre isotopi radioattivi a vita breve (per esempio ${}^{18}\text{F}$) usati negli esami PET in ospedale.

Dal ciclotrone al sincrotrone

A energie più alte la velocità si avvicina a $c$ e la massa relativistica $\gamma m$ cresce: la frequenza di ciclotrone non è più costante e il sincronismo si perde. Si usano allora due trucchi: variare $f$ dinamicamente con $\gamma$ (sincro-ciclotrone) o variare anche $B$ tenendo il raggio costante (sincrotrone). Sincrotroni come l’LHC al CERN, con $R = 4{,}3\;\text{km}$, accelerano protoni a $7\;\text{TeV}$, un milione di volte l’energia di un piccolo ciclotrone da ospedale.

Sintesi

Selettore $v = E/B$: passa una sola velocità. Spettrometro: $r \propto m/q$. Ciclotrone: $f_c = qB/(2\pi m)$ non dipende da $v$, $K_\text{max} = q^2 B^2 R^2/(2m)$.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Energia cinetica

Esercizi collegati: Esercizio svolto — ciclotrone da un chilometro · Ciclotrone semplice · Frequenza di ciclotrone di un protone