Superficie chiusa e bilancio di carica

Se $Q(t)$ è la carica su un’armatura del condensatore e $i(t)$ la corrente nel circuito, quando vale $dQ/dt = +i$ e quando $dQ/dt = -i$? Sembra un dettaglio, ma sbagliarlo capovolge il segno di un’intera equazione differenziale. La risposta passa per l’equazione di continuità della carica: la carica non si crea né si distrugge, ma può solo entrare o uscire attraverso i fili.

Immaginiamo di avvolgere un’armatura del condensatore con una superficie chiusa immaginaria $\mathcal{S}$ (una bolla matematica, non un oggetto fisico). La superficie taglia il filo che porta corrente a quell’armatura. Sia $Q$ la carica contenuta dentro $\mathcal{S}$: coincide con la carica dell’armatura racchiusa, perché fuori dall’armatura, nei fili conduttori, non c’è accumulo di carica (la corrente passa e basta, come l’acqua in un tubo).

Equazione di continuità della carica

$\ev{\frac{dQ_\text{dentro}}{dt} = i_\text{entrante}}$

A parole: la velocità con cui la carica dentro $\mathcal{S}$ cambia è uguale alla corrente che entra attraverso la superficie. È la versione “carica” del bilancio idraulico: il volume d’acqua in una vasca aumenta al ritmo della portata entrante e diminuisce al ritmo di quella uscente.

Il segno davanti a $i$ nell’equazione del circuito dipende quindi da due scelte che facciamo noi:

• quale armatura è contenuta nella superficie chiusa (positiva o negativa);
• il verso convenzionale della corrente $i(t)$ nel circuito.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Corrente elettrica

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