Esercizio svolto — RLC forzato, trovare la FEM del generatore

Testo

In un circuito serie con $R=3\ \Omega$, $C=2\ \text{F}$, $L=4\ \text{H}$, la carica sul condensatore vale $Q(t)=3\sin(2t)$. Trova la tensione del generatore $\Delta V_{\text{gen}}(t)$ e verifica il bilancio energetico.

Soluzione

Derivate della carica. $\dot Q=6\cos(2t),\qquad \ddot Q=-12\sin(2t)$

Legge di Kirchhoff (maglia serie). Con $i=-\dot Q$, sommando le cadute su $L$, $R$, $C$: $\Delta V_{\text{gen}}=-L\,\ddot Q-R\,\dot Q-\frac{Q}{C}=-4(-12\sin 2t)-3\cdot 6\cos 2t-\frac{3\sin 2t}{2}$ $\Delta V_{\text{gen}}(t)=48\sin 2t-18\cos 2t-\tfrac{3}{2}\sin 2t=-18\cos(2t)+\tfrac{93}{2}\sin(2t)$ $\ev{\Delta V_{\text{gen}}(t)=-18\cos(2t)+\tfrac{93}{2}\sin(2t)}$

Bilancio energetico. La corrente è $i=-\dot Q=-6\cos(2t)$. Energia immagazzinata: $E(t)=\frac{Q^2}{2C}+\frac{L\,i^2}{2}=\frac{9\sin^2 2t}{4}+\frac{4\cdot 36\cos^2 2t}{2}=\tfrac{9}{4}\sin^2 2t+72\cos^2 2t$ $\ddt{E}=\tfrac{9}{4}\cdot 4\sin 2t\cos 2t-72\cdot 4\sin 2t\cos 2t=(9-288)\sin 2t\cos 2t=-279\sin 2t\cos 2t$

Potenza erogata dal generatore e dissipata da $R$: $P_{\text{gen}}=\Delta V_{\text{gen}}\cdot i=\left(-18\cos 2t+\tfrac{93}{2}\sin 2t\right)(-6\cos 2t)=108\cos^2 2t-279\sin 2t\cos 2t$ $P_R=R\,i^2=3\cdot 36\cos^2 2t=108\cos^2 2t$ $P_{\text{gen}}-P_R=-279\sin 2t\cos 2t=\ddt{E}\quad\checkmark$ Il bilancio è verificato: la potenza netta fornita meno quella dissipata in $R$ eguaglia la variazione dell’energia immagazzinata in $L$ e $C$.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Oscillazioni LC e RLC · Effetto Joule