Il circuito LC e l'equazione delle oscillazioni

Un circuito contenente solo un condensatore (capacità $C$) e un induttore (induttanza $L$), senza resistori, ha un comportamento sorprendente: l’energia oscilla indefinitamente tra la forma elettrica (condensatore carico) e quella magnetica (corrente nel solenoide). È l’analogo elettrico di un pendolo, che scambia energia potenziale gravitazionale ed energia cinetica.

Circuito LC: il condensatore $C$ e l’induttore $L$ chiusi in un’unica maglia, percorsa dalla corrente $i(t)$.

Applichiamo la legge di Kirchhoff delle maglie: percorrendo il circuito nel verso della corrente, le cadute di tensione devono fare zero. Se $Q(t)$ è la carica sull’armatura positiva del condensatore:

$\frac{Q}{C} - L\,\frac{di}{dt} = 0$

Per la conservazione della carica, $i = -dQ/dt$ (la corrente esce dal condensatore); derivando ancora, $di/dt = -d^2Q/dt^2$. Sostituendo:

$\frac{Q}{C} + L\,\frac{d^2Q}{dt^2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d^2Q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,Q$

Oscillazioni libere di un circuito LC

La carica $Q(t)$ obbedisce all’equazione delle oscillazioni armoniche: $\ev{\frac{d^2Q}{dt^2} = -\omega^2\,Q} \quad\text{con}\quad \ev{\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}}$ La soluzione è $Q(t) = Q_0\,\cos(\omega t + \varphi)$: oscillazione armonica di frequenza $f = \omega/(2\pi)$, esattamente come una massa attaccata a una molla.

Formula chiave

$\omega_\text{LC} = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{LC}$

La pulsazione dipende solo dai componenti $L$ e $C$, mai dall’ampiezza $Q_0$ o dalle condizioni iniziali: è una proprietà del circuito, non del modo in cui lo si eccita.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Moto armonico semplice

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