Esercizio svolto — circuito LC, trovare la frequenza propria

Testo

Un circuito $LC$ (senza resistenza) ha carica $Q(t)=2\cos(\omega t)$. Trova il valore di $\omega$ affinché l’equazione di Kirchhoff sia soddisfatta.

Soluzione

Corrente e sua derivata. Con $i=-\dot Q$: $i=-\dot Q=2\omega\sin(\omega t),\qquad \dot i=2\omega^2\cos(\omega t)$

Equazione di Kirchhoff senza $R$ e senza generatore (caduta su $L$ più caduta su $C$): $-L\,\dot i-\frac{Q}{C}=0\ \Rightarrow\ -L\cdot 2\omega^2\cos(\omega t)-\frac{2\cos(\omega t)}{C}=0$

Raccogliendo $2\cos(\omega t)\neq 0$: $L\,\omega^2=\frac{1}{C}\ \Rightarrow\ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ $\ev{\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

La frequenza propria dipende solo da $L$ e $C$: non dipende né dall’ampiezza dell’oscillazione né dalle condizioni iniziali (moto armonico semplice della carica).

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Moto armonico semplice · Risonanza