Circuito RLC: oscillazioni smorzate

Se aggiungiamo al circuito LC anche un resistore $R$, le cose si complicano: l’energia, oltre a oscillare tra forma elettrica e magnetica, viene anche dissipata in calore. L’equazione di Kirchhoff delle maglie diventa:

$\text{FEM}_\text{gen} - R\,i - \frac{Q}{C} - L\,\frac{di}{dt} = 0$

Con $i = dQ/dt$ (scegliendo la convenzione in cui la corrente entra nel condensatore) e $di/dt = d^2Q/dt^2$, si ottiene un’equazione differenziale in $Q(t)$:

$L\,\frac{d^2Q}{dt^2} + R\,\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = \text{FEM}_\text{gen}$

Esempio — Un circuito RLC a coefficienti concreti

Consideriamo $L = 2$ H, $R = 1\;\Omega$, $C = 3$ F, con FEM costante $\Delta V_\text{gen} = 4$ V e condizione iniziale $Q(0) = 0$. Cerchiamo una soluzione della forma $Q(t) = a + b\,e^{-\gamma t}$: una “coda transiente” esponenziale sovrapposta al valore stazionario.

Il valore stazionario ($t\to\infty$) è $a = C\cdot\Delta V_\text{gen} = 12$ C (il condensatore si carica fino a eguagliare la tensione del generatore). La parte esponenziale $b\,e^{-\gamma t}$ deve soddisfare l’equazione omogenea associata: $L\gamma^2 - R\gamma + \frac{1}{C} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\gamma^2 - \gamma + \frac{1}{3} = 0$ Il discriminante è $1 - 8/3 < 0$: le radici sono complesse! $\gamma = \frac{1\pm i\sqrt{5/3}}{4} = \frac{1}{4} \pm i\,\frac{\sqrt{15}}{12}$ Interpretando $e^{-\gamma t}$ con parte reale e immaginaria come un’oscillazione smorzata: $\ev{Q(t) = 12\left(1 - e^{-t/4}\cos\!\left(\frac{\sqrt{15}}{12}\,t\right)\right)}$ Una funzione che parte da $Q = 0$, oscilla un paio di volte intorno a $12$, e si assesta definitivamente su $12$ C. È il regime di oscillazioni smorzate.

La radice complessa dell’equazione caratteristica è la firma matematica dell’oscillazione smorzata: la parte reale ($1/4$) governa il decadimento esponenziale dell’ampiezza, la parte immaginaria ($\sqrt{15}/12$) governa la pulsazione dell’oscillazione residua.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Oscillazioni smorzate

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