Esercizio svolto — Campo B variabile genera circuitazione di E

Testo

In una regione dello spazio è presente un campo magnetico uniforme in direzione, perpendicolare a una superficie piana $S = 2\;\text{m}^2$, il cui modulo cresce nel tempo secondo $\abs{\vv B(t)} = 2t^2$ tesla (con $t$ in secondi). Calcola, all’istante $t = 3\;\text{s}$, la circuitazione del campo elettrico lungo il bordo chiuso $\gamma$ di $S$.

Soluzione

Impostazione. La legge di Faraday-Neumann (terza equazione di Maxwell in forma integrale) lega la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa $\gamma$ alla variazione nel tempo del flusso magnetico concatenato con la superficie $S$ delimitata da $\gamma$:

$\Gamma_E = \oint_\gamma \vv E \cdot \dd\vv\ell = -\ddt{\Phi_B}$

Flusso magnetico. Poiché $\vv B$ è perpendicolare alla superficie e uniforme su di essa, il flusso è semplicemente modulo per area:

$\Phi_B(t) = \abs{\vv B}\,S = (2t^2)\cdot 2 = 4t^2 \;\text{Wb}$

Derivata del flusso. Deriviamo rispetto al tempo:

$\ddt{\Phi_B} = \ddt{}\left(4t^2\right) = 8t \;\text{V}$

Valutazione a $t = 3\;\text{s}$.

$\left.\ddt{\Phi_B}\right|_{t=3} = 8\cdot 3 = 24 \;\text{V}$

Circuitazione. Per la legge di Faraday:

$\ev{\Gamma_E = -\ddt{\Phi_B} = -24\;\text{V}}$

Il segno meno esprime la legge di Lenz: il campo elettrico indotto si oppone all’aumento del flusso, cioè è orientato in modo da generare (se ci fosse un conduttore) una corrente che contrasta la crescita di $\vv B$.

Variante. Se invece il campo decrescesse esponenzialmente, $\abs{\vv B(t)} = B_0\,e^{-t/\tau}$, allora $\Phi_B = B_0 S\,e^{-t/\tau}$ e la forza elettromotrice indotta sarebbe

$\text{f.e.m.} = -\ddt{\Phi_B} = \frac{B_0 S}{\tau}\,e^{-t/\tau}$

positiva e via via calante: il campo che si spegne lentamente genera una circuitazione dello stesso segno del flusso residuo.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Flusso magnetico