Problema — Continuità di B

Testo

Per il condensatore del problema precedente ($R$, corrente di carica costante $i$), ricava da Ampère-Maxwell il campo $\abs{\vv B}(r)$ per $r<R$ e per $r>R$. (a) Scrivi le due espressioni. (b) Mostra che si raccordano con continuità in $r=R$. (c) Disegna $\abs{\vv B}(r)$ e confronta con un filo pieno percorso da corrente.

Soluzione

(a) Le due espressioni. All’interno ($r<R$) il cerchio concatena solo la frazione $(r/R)^2$ della corrente di spostamento totale $i$; all’esterno ($r>R$) concatena tutta la corrente $i$. Applicando $\oint\vv B\cdot d\vv\ell=B\,(2\pi r)$:

$\ev{B=\frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}}\qquad (r<R)$

$\ev{B=\frac{\mu_0\,i}{2\pi r}}\qquad (r>R)$

(b) Raccordo in $r=R$. Valutando entrambe in $r=R$:

$\frac{\mu_0\,i\,R}{2\pi R^2}=\frac{\mu_0\,i}{2\pi R}=\frac{\mu_0\,i}{2\pi R}$

Le due espressioni danno lo stesso valore: il campo è continuo, senza salti.

(c) Grafico e confronto. Il campo cresce linearmente da $0$ fino al picco $\dfrac{\mu_0 i}{2\pi R}$ in $r=R$, poi decresce come $1/r$.

È lo stesso andamento del campo di un filo rettilineo pieno percorso da corrente uniforme: dentro il conduttore $B\propto r$, fuori $B\propto 1/r$. La corrente di spostamento nel condensatore genera un campo magnetico del tutto analogo a quello di una corrente reale.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Campo magnetico