Il campo magnetico dentro il condensatore che si carica

Se davvero l’aggiunta di Maxwell ha senso fisico, deve esistere un vero campo magnetico tra le armature del condensatore mentre si carica. Calcoliamone il valore sfruttando la simmetria cilindrica.

Prendiamo due armature circolari di raggio $R_0$ separate da una piccola distanza: tra di esse il campo elettrico è uniforme, diretto da un’armatura all’altra, di modulo $E(t)$. Scegliamo come cammino un cerchio di raggio $r$ centrato sull’asse e parallelo alle armature. Per la simmetria di rotazione, il modulo di $\vec{B}$ su quel cerchio è costante e tangente, quindi $\Gamma_B = B\cdot 2\pi r$. Il flusso elettrico concatenato al cerchio è $\Phi_E = E\cdot\pi r^2$ finché $r < R_0$.

Applicando Ampère-Maxwell — senza corrente di cariche dentro il condensatore, $i_\text{conc} = 0$:

$B(r)\cdot 2\pi r = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} = \mu_0\varepsilon_0\,\pi r^2\,\frac{dE}{dt}$

Semplificando:

Campo interno ( $r \le R_0$)

$\ev{B(r) = \frac{\mu_0\varepsilon_0\,r}{2}\,\frac{dE}{dt}}$

Il campo magnetico cresce linearmente con la distanza dall’asse, proprio come dentro un filo percorso da corrente uniforme. Fuori dalle armature ($r > R_0$) il flusso elettrico concatenato resta bloccato a $E\cdot\pi R_0^2$, quindi

$B(r) = \frac{\mu_0\varepsilon_0\,R_0^2}{2r}\,\frac{dE}{dt} \qquad (r > R_0)$

esattamente come il campo magnetico esterno a un filo che portasse la corrente equivalente $i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,dE/dt$.

Simmetria perfetta

Per chi guarda il circuito dall’esterno, non si distingue un vero filo dal “filo fittizio” di corrente di spostamento: entrambi producono lo stesso campo magnetico $B \propto 1/r$.

Ordine di grandezza

Per una corrente equivalente $i\sim 1$ A, a $r = 1$ cm dall’asse: $B \sim \mu_0 i\,r/(2\pi R_0^2)$, dell’ordine di qualche $\mu$T — debole, ma misurabile.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Teorema di Ampère · Campo magnetico Competenze: Impostazione simbolica

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