Problema — Ranking dei fattori di Lorentz (quattro astronavi)

Testo

Ranking. Quattro astronavi si muovono rispetto al laboratorio con velocità: (A) $v = 0{,}3\,c$; (B) $v = 0{,}6\,c$; (C) $v = 0{,}8\,c$; (D) $v = 0{,}95\,c$. Ordina i fattori di Lorentz $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Osservazione qualitativa. $\gamma$ è una funzione monotòna crescente di $v$: più veloce è l’astronave, maggiore è $\gamma$. Quindi l’ordine dei $\gamma$ segue l’ordine delle velocità.

Calcolo dei valori.

$\gamma_A = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}09}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}91}} \approx 1{,}05$

$\gamma_B = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = 1{,}25$

$\gamma_C = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} \approx 1{,}67$

$\gamma_D = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9025}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0975}} \approx 3{,}20$

Ordinamento.

$\ev{\gamma(A) < \gamma(B) < \gamma(C) < \gamma(D)}$

Si nota come $\gamma$ cresca lentamente a basse velocità (da $0{,}3\,c$ a $0{,}6\,c$ passa solo da $1{,}05$ a $1{,}25$) ma poi esploda avvicinandosi a $c$ (a $0{,}95\,c$ vale già $3{,}2$).

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Ragionamento di ranking