Quattro eventi e la diseguaglianza inversa

Testo

Nel SR di un laboratorio considera quattro eventi $(t,s)$ in secondi e secondi-luce: $E_1=(3,2)\quad E_2=(7,3)\quad E_3=(11,5)\quad E_4=(15,8).$ Un viaggiatore può andare da $E_1$ a $E_4$ in linea retta oppure spezzando il viaggio nei punti $E_2,E_3$. Calcola i due tempi propri e verifica che la traiettoria rettilinea uniforme massimizza il tempo proprio.

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Su ogni tratto rettilineo il tempo proprio è l’invariante $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$.

Traiettoria rettilinea $E_1\to E_4$. $\Delta t = 15-3 = 12$~s, $\Delta s = 8-2 = 6$~sl: $\Delta\tau_\text{retta}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\approx 10{,}39\ \text{s}$

Traiettoria spezzata $E_1\to E_2\to E_3\to E_4$. Tratto per tratto: $\Delta\tau_{12}=\sqrt{(7-3)^2-(3-2)^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\approx 3{,}87\ \text{s}$ $\Delta\tau_{23}=\sqrt{(11-7)^2-(5-3)^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\ \text{s}$ $\Delta\tau_{34}=\sqrt{(15-11)^2-(8-5)^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2{,}65\ \text{s}$ Sommando: $\Delta\tau_\text{spezzata}=\sqrt{15}+2\sqrt{3}+\sqrt{7}\approx 3{,}87+3{,}46+2{,}65 = 9{,}98\ \text{s}$

Confronto. $\ev{\Delta\tau_\text{retta}\approx 10{,}39\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_\text{spezzata}\approx 9{,}98\ \text{s}}$ La traiettoria rettilinea uniforme dà il tempo proprio maggiore: è la “disuguaglianza triangolare al contrario” della relatività. Ogni deviazione dal moto rettilineo uniforme (ogni cambio di SR) accorcia il tempo proprio — la radice del paradosso dei gemelli.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Dilatazione dei tempi Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali