Lettura del grafico gamma(v)

Testo

Lettura grafico: $\gamma(v)$. Un grafico riporta $\gamma$ in ordinata e $v/c$ in ascissa. Descrivi la forma della curva: dove vale $1$, dove cresce lentamente, dove “esplode”. Indica l’asintoto e spiega perché fisicamente serva energia infinita per arrivare a $v=c$.

Soluzione

Valore a riposo. Per $v=0$ si ha $\beta = 0$ e

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1.$

La curva parte da $\gamma = 1$: a bassa velocità la fisica è (quasi) newtoniana.

Crescita lenta a piccole velocità. Per $\beta \ll 1$ vale $\gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\beta^2$: la curva è quasi piatta, cresce come una parabola molto dolce. Fino a $v \approx 0{,}5\,c$ il fattore è appena $\approx 1{,}15$. Ecco perché nella vita quotidiana non notiamo effetti relativistici.

“Esplosione” vicino a $c$. Avvicinandosi a $v = c$, il denominatore $\sqrt{1-\beta^2} \to 0$ e $\gamma \to \infty$: la curva sale ripidissima. A $0{,}9\,c$ vale $\approx 2{,}3$, a $0{,}99\,c$ già $\approx 7$, a $0{,}999\,c$ oltre $22$.

Asintoto. La retta $v/c = 1$ è un asintoto verticale: $\gamma$ diverge ma non viene mai raggiunto per $v = c$.

$\ev{\gamma(0)=1;\ \ \text{asintoto verticale a } v/c=1}$

Perché energia infinita. L’energia cinetica relativistica è $K = (\gamma - 1)\,m c^2$. Poiché $\gamma \to \infty$ quando $v \to c$, portare una massa a $v = c$ richiederebbe energia infinita. Nessun corpo dotato di massa può quindi raggiungere la velocità della luce: solo particelle di massa nulla (fotoni) viaggiano esattamente a $c$.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica