Massa invariante di due fotoni

Testo

Sfida: massa invariante di due fotoni. Due fotoni di energia $E$ ciascuno viaggiano in versi opposti. Calcola la massa invariante del sistema partendo da $M^2 c^4 = E_{tot}^2 - (p_{tot}c)^2$. Discuti perché la massa di un sistema non è additiva.

Soluzione

Grandezze del singolo fotone. Ogni fotone ha massa nulla e soddisfa $E = pc$, quindi ha quantità di moto di modulo $p = E/c$. I due fotoni viaggiano in versi opposti: le loro quantità di moto hanno segno opposto.

Energia totale. Le energie si sommano (scalari):

$E_{tot} = E + E = 2E.$

Quantità di moto totale. Le quantità di moto sono vettori opposti e si cancellano:

$p_{tot} = \frac{E}{c} - \frac{E}{c} = 0.$

Massa invariante. Sostituisco nell’invariante:

$M^2 c^4 = E_{tot}^2 - (p_{tot}c)^2 = (2E)^2 - 0 = 4E^2.$

$M = \frac{2E}{c^2}.$

$\ev{M = \frac{2E}{c^2}}$

La massa non è additiva. Ogni fotone ha massa nulla, eppure il sistema dei due ha massa $M = 2E/c^2 \neq 0$. La massa di un sistema non è la somma delle masse dei componenti: dipende dall’energia totale e dalla quantità di moto totale nel loro insieme. Qui, poiché le quantità di moto si annullano, tutta l’energia contribuisce come massa a riposo del sistema (esiste un riferimento — il centro di quantità di moto — in cui il sistema è complessivamente fermo, pur essendo fatto di due fotoni che non lo sono mai). È lo stesso principio per cui gran parte della massa di un protone deriva dall’energia dei suoi costituenti, non dalle loro masse.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Equivalenza massa-energia · Quantità di moto relativistica Competenze: Impostazione simbolica