Problema — Duello western: calcolo esplicito

Testo

Il Brutto e il Cattivo distano $L_{(A)}=4000$ sl (secondi-luce) nel SR del suolo. Un avvoltoio vola a $v=0{,}8\,c$ dal Brutto verso il Cattivo. I due spari colpiscono simultaneamente nel SR del suolo. Applicando la formula della relatività della simultaneità $\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\frac{\vec\beta\cdot\vec L_{12(A)}}{c}$ calcola la differenza di tempi fra «Brutto colpito» ($E_1$) e «Cattivo colpito» ($E_2$) nel SR dell’avvoltoio. Chi viene colpito per primo?

Soluzione

Dati e scelta degli eventi. $E_1$ = «Brutto colpito», $E_2$ = «Cattivo colpito», simultanei in SRA (suolo). Il vettore $\vec L_{12(A)}$ va da $E_1$ a $E_2$, cioè da Brutto verso Cattivo: stesso verso della velocità $\vec\beta$ dell’avvoltoio. Quindi $\vec\beta\cdot\vec L_{12(A)} = +\beta L_{(A)}$, con $\beta=0{,}8$.

Fattore di Lorentz. $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Applicazione della formula. La distanza è espressa in secondi-luce, quindi $L_{(A)}/c = 4000$ s: $\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\beta\,\frac{L_{(A)}}{c} = -\frac{5}{3}\cdot 0{,}8\cdot 4000\ \text{s} = -\frac{5}{3}\cdot 3200\ \text{s} \approx -5333\ \text{s}$

$\ev{\Delta t_{12(B)} \approx -5333\ \text{s}}$

Interpretazione. Il segno negativo significa $t_{2(B)} < t_{1(B)}$: nel SR dell’avvoltoio l’evento $E_2$ («Cattivo colpito») accade prima di $E_1$. L’evento a valle del moto (nel verso della velocità) accade per primo. Nel riferimento dell’avvoltoio, dunque, il Cattivo viene colpito per primo, con circa $5333$ s di anticipo sul Brutto — pur essendo i due spari simultanei per chi sta a terra.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità Competenze: Cambio di sistema di riferimento