Problema — Dimostrazione dell'invariante energia-impulso

Testo

Partendo dalle definizioni $E = \gamma mc^2$ e $p = \gamma m v$, dimostra la relazione invariante $E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$. Mostra esplicitamente che per un fotone ($m=0$) essa implica $E = pc$.

Soluzione

Punto di partenza.

$E = \gamma m c^2, \qquad p = \gamma m v, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Calcolo di $E^2 - (pc)^2$.

$E^2 - (pc)^2 = (\gamma m c^2)^2 - (\gamma m v\, c)^2 = \gamma^2 m^2 c^4 - \gamma^2 m^2 v^2 c^2$

Raccogliamo $\gamma^2 m^2 c^4$:

$E^2 - (pc)^2 = \gamma^2 m^2 c^4\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$

Uso della definizione di $\gamma$. Poiché $\gamma^2 = \dfrac{1}{1 - v^2/c^2}$, il fattore $\left(1 - v^2/c^2\right)$ cancella esattamente $\gamma^2$:

$E^2 - (pc)^2 = \gamma^2 m^2 c^4 \cdot \frac{1}{\gamma^2} = m^2 c^4$

$\ev{E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2}$

Il secondo membro dipende solo dalla massa $m$ (e da $c$), non dalla velocità: è quindi lo stesso in ogni riferimento inerziale, cioè un invariante.

Caso del fotone ($m = 0$). Ponendo $m = 0$:

$E^2 - (pc)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad E^2 = (pc)^2 \quad\Rightarrow\quad \ev{E = pc}$

Il fotone, privo di massa, ha energia ed impulso legati semplicemente da $E = pc$ e viaggia a velocità $c$.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Equivalenza massa-energia Competenze: Impostazione simbolica