Problema — Stima della correzione relativistica GPS

Testo

Stima la correzione relativistica frazionaria $(\gamma - 1)$ per un satellite GPS in orbita a $v \approx 3{,}9$ km/s. Confronta con la precisione richiesta ($\sim 10^{-9}$ al giorno) per il corretto funzionamento del sistema.

Soluzione

Rapporto di velocità.

$\beta = \frac{v}{c} = \frac{3{,}9\cdot 10^{3}\;\text{m/s}}{3\cdot 10^{8}\;\text{m/s}} \approx 1{,}3\cdot 10^{-5}$

Approssimazione per piccole velocità. Per $\beta \ll 1$ si sviluppa in serie:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \approx 1 + \tfrac{1}{2}\beta^2 \quad\Rightarrow\quad \gamma - 1 \approx \tfrac{1}{2}\beta^2$

Stima.

$\gamma - 1 \approx \tfrac{1}{2}(1{,}3\cdot 10^{-5})^2 \approx \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}7\cdot 10^{-10} \approx 8{,}5\cdot 10^{-11}$

$\ev{\gamma - 1 \sim 10^{-10}}$

Confronto. La correzione di dilatazione dei tempi dovuta alla velocità è dell’ordine di $10^{-10}$, cioè circa un fattore 10 più piccola della precisione richiesta al giorno ($\sim 10^{-9}$). Non è quindi trascurabile: accumulata nel tempo (e sommata all’effetto gravitazionale della relatività generale, ancora maggiore) produrrebbe errori di posizione di chilometri se non venisse corretta.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Stime di Fermi