Problema — Diagramma di Minkowski di un razzo

Testo

Il grafico in figura (diagramma di Minkowski) mostra la linea di universo di un razzo che viaggia a $v = 0{,}9c$ rispetto a un osservatore in quiete. Dall’origine si propaga anche un impulso luminoso. Determina dal grafico il fattore $\gamma$ corrispondente a questa velocità e calcola la dilatazione dei tempi per un intervallo proprio $\Delta t = 100$ ns.

Soluzione

Lettura del grafico. La linea di universo del razzo ha pendenza minore di quella della luce ($x = ct$, la bisettrice): questo conferma $v < c$. La retta del razzo ha inclinazione corrispondente a $v = 0{,}9c$.

Fattore di Lorentz. Con $v = 0{,}9c$, $\dfrac{v^2}{c^2} = 0{,}81$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}81}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}19}} \approx 2{,}29$

$\ev{\gamma \approx 2{,}29}$

Dilatazione dei tempi. L’intervallo proprio $\Delta t = 100$ ns (misurato a bordo del razzo) appare dilatato per l’osservatore in quiete:

$\Delta t' = \gamma\,\Delta t = 2{,}29 \times 100\;\text{ns}$

$\ev{\Delta t' \approx 229\;\text{ns}}$

Per l’osservatore fermo, tra due “tic” dell’orologio di bordo passano $229$ ns invece di $100$: l’orologio in moto rallenta.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski