Problema — Quale diagramma dei gemelli

Testo

Quale diagramma? Due gemelli: uno rimane a Terra, l’altro parte in viaggio a $v = 0{,}8c$, torna dopo un tempo proprio $\tau$. Quale diagramma spazio-tempo rappresenta correttamente la situazione dal punto di vista della Terra? (Epstein 2002)

Soluzione

Cosa deve mostrare il diagramma (vista dalla Terra).

• Il gemello che resta a Terra ha coordinata spaziale costante $x = 0$: la sua linea di universo è la retta orizzontale lungo l’asse $t$ (in blu). ✓ (uguale in tutti e tre)
• Il gemello viaggiatore si allontana a velocità costante $v = 0{,}8c$, poi inverte e torna: la sua linea di universo è una spezzata “a triangolo” che parte e ritorna sull’asse del gemello a Terra.

Vincolo fisico decisivo: la pendenza. La linea di universo del viaggiatore rappresenta un moto con $v = 0{,}8c < c$. La sua inclinazione rispetto all’asse dei tempi deve essere quella di $0{,}8c$: meno ripida del cono di luce ($v = c$) ma con una pendenza ben definita e realistica.

• Diagramma A: pendenza intermedia, coerente con $v = 0{,}8c$ (il vertice raggiunge un $x$ compatibile con la velocità e il tempo di volo). ✓ candidato plausibile — ma confrontiamo.
• Diagramma C: il vertice è troppo basso, corrisponde a una velocità troppo piccola (il viaggiatore si allontana troppo poco): non rappresenta $0{,}8c$.
• Diagramma B: la spezzata ha la giusta apertura per $v = 0{,}8c$ — il viaggiatore raggiunge la distanza corretta nel tempo di andata e ritorno, con pendenza inferiore a quella della luce. È l’unico geometricamente coerente con $v = 0{,}8c$ e con il ritorno sullo stesso punto.

Risposta.

$\ev{\text{Diagramma B}}$

Solo il diagramma B ha la linea di universo del viaggiatore con la corretta inclinazione (velocità $0{,}8c$, sub-luminale) che parte dall’origine e ritorna sulla linea di universo del gemello a Terra, chiudendo il viaggio di andata e ritorno.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski