Ritardo cinematico degli orologi GPS

Testo

I satelliti GPS orbitano a $v\approx 4$ km/s. Stima il ritardo accumulato in un giorno dal loro orologio rispetto a un orologio terrestre, dovuto alla sola dilatazione cinematica del tempo. (Effetto: l’orologio sul satellite ritarda rispetto a Terra.) Confronta col ben più grande effetto della relatività generale ($\sim +45\;\mu$s/giorno per la quota).

Soluzione

Frazione di dilatazione. Il fattore di Lorentz per $v \ll c$ si sviluppa come

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2.$

L’orologio in moto ritarda di una frazione $\approx \tfrac{1}{2}\beta^2$ per unità di tempo. Con $v = 4\cdot 10^3$ m/s e $c = 3\cdot 10^8$ m/s:

$\beta = \frac{4\cdot 10^3}{3\cdot 10^8} \approx 1{,}33\cdot 10^{-5}, \qquad \frac{1}{2}\beta^2 \approx \frac{1}{2}(1{,}33\cdot 10^{-5})^2 \approx 8{,}9\cdot 10^{-11}.$

Ritardo in un giorno. In un giorno ci sono $T = 86\,400$ s:

$\Delta t = \frac{1}{2}\beta^2 \cdot T \approx 8{,}9\cdot 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7{,}7\cdot 10^{-6}\ \text{s}.$

$\ev{\Delta t \approx 7\ \mu\text{s/giorno (l'orologio del satellite ritarda)}}$

Confronto con la relatività generale. L’effetto cinematico (relatività ristretta) fa ritardare l’orologio del satellite di $\approx -7\ \mu$s/giorno. La relatività generale, invece, per la minore gravità in quota lo fa anticipare di $\approx +45\ \mu$s/giorno. I due effetti hanno segno opposto e non si cancellano: il saldo netto è $\approx +38\ \mu$s/giorno. Senza correggerlo, il GPS accumulerebbe errori di posizione di chilometri al giorno.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi Competenze: Stime di Fermi